X- -i- yT-r- Z-=f

par où l'on déterminera l'une des coordonnées par les deux autres.

Considérons d'abord l'expression de la force qui agit suivant l'ordonnée z, savoir

z — c) dx dy dz

si on l'intègre en ne faisant varier que z on aura, à cause de

/• = J{ x — a \2 -(- ( y — b )2 + ( z — cf,

la quantité

dx dy

or l'équation

donne

z = ±slf'-x>-r\ en sorte que les deux valeurs extrêmes de z sont

\Jf2—x* — y2 et — \Jf- — x2 — j2;

ter l'ii qu'elle soit nulle lorsque

ainsi pour compléter l'intégrale il faudra la prendre en sorte

et qu'elle finisse quand

ce qui donnera donc, en faisant, pour abréger,

a2 H- è2 -+- c2= g2, l'intégrale complète

dxdy dxdy

\f2-f-g2 — 3-ax — iby — ar \/f~ — x2 — y- \ f2~>- g2 — t.ax — iby-¥- ic \J f' — x* —y-

11 faudrait maintenant intégrer de nouveau ces quantités en faisant varier x ou y; mais c'est ce qui ne parait pas aisé à cause des deux signes radicaux qui y entrent.

On rencontrera les mêmes difficultés si l'on veut intégrer les deux autres formules qui donnent les forces parallèles aux coordonnées x et y; de sorte qu'en s'y prenant de la manière ci-dessus il sera presque impossible de déterminer l'attraction d'une spbère sur un point placé dans un endroit quelconque; cependant on sait que ce Problème est très-facile à résoudre lorsqu'on suppose la spbère partagée en une infinité de petits cylindres ayant tous pour axe la ligne qui joint le point attiré et le centre

62k SUR L'ATTRACTION

de la sphère, et qu'on cherche d'abord l'attraction exercée par chacun de ces petits cylindres, et ensuite la somme de toutes ces attractions, par l'intégration.

On voit donc par là combien il est important dans cette recherche d'employer à la place des trois coordonnées rectangles x, y, z, d'autres variables qui puissent faciliter les intégrations qu'elle demande. Nous allons donner dans le Problème suivant les principes nécessaires pour cet objet.

Problème II.

3. Supposons qu'on ait la différentielle V dxdydz, où P soit une fonction donnée de x, y, z, et qui doive être intégrée trois fois en faisant varier successivement les changeantes x, y, z, et en observant les conditions énoncées dans le Problème I; on propose d'introduire à la place de ces changeantes trois autres changeantes p, q, r, qui soient des fonctions données de celles-là.

Puisque y», q, /-sont supposées des fonctions de x,y, z, on aura aussi réciproquement x, y, z exprimées par des fonctions de p, q, r\ on fera donc d'abord ces substitutions dans la quantité P, ce qui la réduira à une fonction de p, q, r, et il n'y aura de difficulté que par rapport à la quantité dxdydz.

Qu'on cherche par la différentiation les valeurs des différences dx, dy, dz, et l'on aura, en général,

dx = A dp -r- B dq -+■ C dr, dy -—Ddp-hEdq -t- Fdr, dz = Gdp -+- YLdq -t- Idr,

A, B, C,... étant des fonctions connues dep, q, r; or il est facile de comprendre que pour avoir la valeur de dxdydz, on ne doit pas multiplier ensemble les valeurs précédentes de dx, dy, dz; car alors la différentielle P dxdydz contiendrait des termes où les différences dp, dq, dr se trouveraient élevées au carré ou au cube, en sorte que la triple intégration qui doit se faire relativement aux trois variables/), q, r ne pourrait

plus avoir lieu; d'ailleurs, comme dxdydz exprime l'élément de la solidité du corps, il est clair que quelles que soient les variables/?, q, r qu'on introduira à la place des variables ce, y, z, cet élément ne pourra être représenté que par le produit dpdqdr des trois différences dp, dq, dr multiplié par une fonction quelconque de p, q, r. Je considère donc que dans l'expression du parallélépipède dxdydz, la différence dz doit être prise tandis que x et y demeurent constants; qu'ensuite la différence dy doit être prise en regardante et s comme constants, et qu'enfin la différence dx doit être prise en supposant dy et dz nuls; donc :

i° Pour avoir la valeur de dz, on fera dx = o et dy — o, ce qui

donnera

Adp -+- Bdq + Cdr = o,

Bdp -i-Edq -+- Frfr= o,

d'où l'on tirera dp et dq en dr, savoir