G(BF— CE) + H(CD — AF) + I(AE— BD

ou bien

A El + RFG + CDH - AFH - RDI — CEG

demeure la même, ou change tout au plus de signe, en échangeant respectivement entre eux les trois systèmes de quantités A, B, C; D, E, F; G, H, I; de sorte qu'on aura le même résultat si, au lieu de chercher d'abord comme nous l'avons fait la valeur de dz, ensuite celle de dy et de dx, on voulait commencer par chercher celle de dy ou de dx, et ensuite celle d'une quelconque des deux autres différentielles. Il ne pourra y avoir de différence que dans le signe, mais elle ne sera ici d'aucune conséquence, puisqu'il est indifférent de prendre l'élément « = dxdydz en plus ou en moins; cependant, comme il est plus naturel de regarder cette quantité comme positive, on aura toujours soin de prendre la valeur de a positivement; c'est pourquoi nous supposerons, en général,

a = ± (AEI -+■ RFG + CDH - AFH — BDI - CEG) dpdqdr.

i. Corollaire. — Une des transformations les plus utiles et les plus ordinaires est d'introduire à la place des coordonnées rectangles x, y, z un rayon vecteur r partant d'un point lixe qu'on nomme le centre des rayons, avec deux angles p et q qui déterminent la position de ce rayon; et dont l'un p soit celui que le même rayon fait avec un des axes des coordonnées comme avec l'axe des z, ou bien avec un axe parallèle à celui-ci, mais passant par le centre des rayons; et dont l'autre q soit l'angle que la projection du rayon r sur le plan des coordonnées x, y fait avec l'axe des x, ou, ce qui est la même chose, avec un axe parallèle à

celui-ci et passant par le centre des rayons. Si l'on dénote par a, b, c les coordonnées rectangles qui déterminent la position arbitraire du centre, il est visible qu'on aura d'abord

r = \J(x — a)2-t- (y — b)2 + (z — cf; ensuite on trouvera facilement

J(x — ay + (r— by . y—b

v/TS-«)2+"(r-6)3

x — a= rsinp cosq, y — b = rsinp sinq, z — c = rcosp;

et diftérentiant

dx = r(cospcosqdp — sinp sinq dq) -+- sinp cosq dr, dy = r(cosp sinq dp — sinpcosqdq) -l- sinp sinqdr, dz = — rsinp dp -+■ cospdr;

ce qui donne par la comparaison des termes

A = rcospcosq, B = — rsinp sinq, C = sinpcosg, D = rcospsinq, E = rsinp cosq, F = sinpsing, G = — rsinp, H = o, I=cos/>;

d'où l'on tire d'abord

BF — CE = — / sin-p, AE — BD ^ r~>smp cosp ;

de sorte qu'à cause de H = o, on aura

AE1 + BFG + CDH - AFH - BD1 - CEG = (BF — CE)G + (AE— BD)I = r- sin3/? -t- r2 sinp cos'p = r- sinp ;

par conséquent on aura, en prenant le signe +,

a. = dx dydz = r2 sinp dp dq dr.

Cette expression de a qui est, comme on voit, assez simple, peut aussi se

trouver directement sans aucun calcul, mais nous avons préféré de la déduire de notre formule générale pour en faire voir l'usage.

5. Remarque. — Supposons maintenant qu'on ail un corps d'une figure finie et continue, dont la surface soit exprimée par une équation entre les coordonnées x, y, z qu'on transformera aisément en une autre entre le rayon ret les angles p etq, et qu'il s'agisse d'intégrer la différentielle Pa en sorte que l'intégrale s'étende à toute la masse du corps; il faudra faire varier successivement les quantités r, p, q, et intégrer par rapport à chacune d'elles en particulier; mais pour cela on doit distinguer deux cas suivant que le centre des rayons r est placé au dehors ou au dedans du corps.

i° Lorsque le centre des rayons est hors du corps, il est clair que les angles p et q ne peuvent augmenter que jusqu'à un certain point; et l'on trouvera leurs limites en cherchant les points où le rayon r touche la surface du corps, c'est-à-dire où — = co et -y- = co . En général, il est visible que puisque le rayon r traverse le corps entier, l'équation qui exprime la surface de ce corps doit donner, pour chaque valeur dep et q, deux valeurs de r, que nous dénoterons par r' et r", et qui répondent aux deux points de la surface, lesquels sont dans une même ligne droite avec le centre des rayons. On commencera donc par intégrer la différentielle Pa en faisant varier /• seul, et l'on prendra l'intégrale en sorte qu'elle commence au point où r = r' et finisse à celui où r= r", c'està-dire qu'on prendra la différence des intégrales qui répondent àr = r" et à r = r'; or il est clair que les points où le rayon r touche la surface du corps sans la couper sont nécessairement ceux où les deux racines r' et r" deviennent égales; ainsi, faisant r' = r" on aura une équation entre p et q, qui déterminera l'étendue qu'on peut donner à ces angles, et d'où l'on tirera aussi deux valeurs de p en q, que nous dénoterons de même par./?' et p"; c'est pourquoi il faudra intégrer de nouveau l'intégrale précédente en y faisant varier/? seul, et prendre la nouvelle intégrale en sorte qu'elle commence où p=p' et qu'elle finisse où p=p"; enfin on fera p'=p", ce qui donnera une équation en q seul, laquelle

aura aussi nécessairement deux racines q' et q"; ainsi l'on intégrera pour la troisième fois en faisant varier q, et l'on prendra l'intégrale en sorte qu'elle commence où q = q' et qu'elle finisse où q = q". On aura de cette manière l'intégrale complète c}e la différentielle proposée. Il faut seulement remarquer qu'il peut arriver que l'équation p'=p", qui doit donner les deux valeurs extrêmes de q, soit impossible, ou qu'elle ne renferme point la variable q; dans ce cas ce sera une marque que l'angle q peut recevoir toutes les valeurs possibles, et pour compléter l'intégrale il suffira alors de la prendre depuis q = o jusqu'à q = 1800, c'est-à-dire qu'on prendra ^' = o et q"= i8o°. On remarquera encore que dans le cas où les valeurs dep' etp" seront indépendantes de q, les intégrations relatives à p et q seront indépendantes l'une de l'autre, puisque les quantités p etp" auront, ainsi que les quantités q' et q", des valeurs absolues et données. D'où il suit qu'il sera indifférent dans ce cas de commencer par l'intégration relative à p ou par celle qui regarde q, et qu'il conviendra par conséquent de commencer par celle des deux, qui rendra le calcul plus facile.

2° Lorsque le centre des rayons /• est au dedans du corps, il est visible que les angles p et q peuvent recevoir toutes les valeurs possibles, puisque dans quelque position que le rayon r se trouve il rencontre toujours nécessairement la surface du corps; de plus il est clair que le même rayon, étant prolongé de part et d'autre du centre, doit rencontrer la surface du corps des deux côtés; et l'on déterminera les deux valeurs de /-, que nous désignerons par r' et /•", par la résolution de l'équation à la surface entre les coordonnées r, p, q. Or il est facile de concevoir que, pour avoir dans ce cas l'intégrale complète de Pa, il suffira d'intégrer d'abord en faisant varier /• seul et de manière que l'intégrale soit nulle lorsque r = o, et de prendre la somme des valeurs de l'intégrale qui répondent à r = r' et àr= r"; d'intégrer ensuite cette quantité en faisant varier successivement les angles p et q, et de prendre chacune de ces intégrales particulières en sorte qu'elle soit nulle, et complète lorsque p ou q est égal à i8o degrés. Et comme les intégrations qui regardent les variables/» et q sont absolues et indépendantes l'une de l'autre,

il est visible qu'il sera indifférent de commencer par celle qu'on voudra. On voit par là qu'il y a une grande différence entre le cas où le centre des rayons r est supposé au dehors, et celui où il est au dedans du corps; que ce dernier est sans comparaison plus facile à résoudre que l'autre, et qu'ainsi il convient de ramener toujours la question à ce cas, ce qui est d'ailleurs toujours possible, puisque la position du centre des rayons est arbitraire, ne dépendant que des constantes indéterminées a, b, c.

3U 11 y aurait, à la vérité, encore un cas qui paraîtrait mériter une discussion particulière, parce qu'il est comme intermédiaire entre les deux, précédents, c'est celui où le centre des rayons serait placé sur la surface* même du corps; mais on peut rapporter ce cas au précédent et le traiter de même, en remarquant qu'on aura une seule valeur de r, l'autre devenant nulle, et qu'ainsi après avoir intégré en faisant varier r, il n'y aura qu'à prendre l'intégrale en sorte qu'elle soit nulle lorsque r = o, et complète lorsque r aura la valeur résultante de l'équation entre r, p, q; à l'égard des deux autres intégrations, on y observera les mêmes conditions que ci dessus.

Problème III.

6. Déterminer la valeur de l'attraction qu'un corps dont la surface est exprimée par une équation du second degré exerce sur un point placé au dedans du corps ou à sa surface, en supposant l'attraction réciproquement proportionnelle aux carrés des distances.

Conservant les dénominations du Problème I, on aura R = — > et l'élé-

ment de l'attraction sera égal à — ? qui étant décomposé suivant les

directions des coordonnées x, y, z donnera les trois attractions élémentaires

(x — a)a {y — b) a. (z — c) ex.

Introduisons maintenant à la place des coordonnées rectangles x, y, z le rayon même r avec les deux angles p et q, ainsi qu'on l'a fait dans le

n° 4, et l'on aura

a = r2 sinp dp dq dr, x — a = rsinp cosq, y — b = rsinp sinq, z — c = rcosp,

et les trois attractions élémentaires deviendront celles-ci

sin-p cosqdpdqdr suivant a, sin3psinq dpdqdr suivant b, sinp cospdpdqdr suivant c.

Maintenant, comme le rayon est supposé mené du point attiré, il est clair que ce point sera ici le centre même des rayons; par conséquent il faudra procéder dans l'intégration d'une manière différente suivant que le point attiré sera hors du corps ou au dedans. Dans le Problème présent nous supposons que ce point est placé dans l'intérieur du corps, ainsi l'on suivra les règles données ci-dessus (5, 2°).

On commencera donc par intégrer par rapport à r, et nommant /■' et r" les deux valeurs de /' qu'on trouvera par la résolution de l'équation à la surface donnée, on aura ces premières intégrales

(;•'+ r") s'm'p cosq dpdq, (r' -+- r") sln2p s'mqdpdq, ()•' + /■") sinp cospdpdq.

.Maintenant on sait que les surfaces du second ordre qui sont renfermées dans un espace fini peuvent être représentées toutes par l'équation

z2 -+- mx- -4- ny'1 = /r,

m, n, k étant des coefficients quelconques positifs; et il est clair, par la nature de cette équation, que les axes des trois coordonnées rectangles x, y, s seront tels, que les plans passant par deux quelconques d'entre eux partageront la surface en deux parties parfaitement égales; de sorte que ces axes seront en même temps les axes de la surface, et leur intersection commune en sera le centre. Qu'on substitue donc dans cette équation à

la place de x, y, z leurs valeurs en r, p, q, savoir (4)

x = a -+- rsinp cosq, y= b -h rs'mpsinq, z = c 4- rcosp, on aura l'équation

(c -4- rcosp)2 H- m (a -h rsinp cosg)24- n(b -4- rsinp sin g)2 = k,

et ordonnant les termes par rapport à r,

! cos2/? -t- msin2p cos2 g -4- >isin2p sin2q) r-

■+■ i(c cosp -+- ma sinp cosq -4- nb sinp sin g) r -+- (c- -+- ma2 ■+- nb- — k) = o,

c'est-à-dire

2 2 (c cosp -l- ma sinp cos q -+- nb sinp sin q) cos2/? + m sin2p cos2q 4- n sin2/? sin2q

c2 -+- ma2 -+- nb2 — k

cos2/? -4- m sin2/? cos-q -+- n sin2p sm-q

équation dont les racines seront r' et r"; mais nous n'aurons pas même besoin de la résoudre pour chercher ces racines; car comme il nous suffit d'avoir leur somme r' -h r", on la connaîtra immédiatement par le coefficient du second terme; en sorte qu'on aura

, „ i{c cosp 4- ma sinp cosq -4- nb sinp sin g

cos2 p -h m sin2 p cos2 q -h n sin2 p sin2 q '

ainsi, substituant cette valeur dans les expressions précédentes, elles deviendront

2 (cosp -+- ma sinp cosq + nb sinp sinq) sin2/? cosq dp dq cos2/? -1- m sin2p cos2q -+- n sin2/? sin2q

2 (cos/? -+- ma sinp cosq + nb sinp sin q) sin2/? sinq dp dq cos2/? -+- m sin2/? cos2 q -4- «sin2/? sin2</

2 (cos/? -t- ma sinp cosq -4- nb sinp sinq) sinp cosp dp dq cos2/? -+- m sin2/? cos2q -h n sin2/? sin'q

Il ne s'agit donc plus que d'intégrer ces formules en faisant varier les angles/? et q chacun en particulier, et prenant chaque intégrale en sorte qu'elle soit nulle lorsque la variable est nulle, et complète lorsque la variable est égale à 180 degrés (5, 2°).

Donc, si l'on fait, pour abréger,

cos^p -I- m sW-p eos2</ -+- n s'm-p sinJ</ = N,

et qu'on suppose

. fs'm-p cosp cosqdpdq

fs'm3p cos"-qdpdq J ~ N '

r fs'm'ps'mq cosqdpdq

' fs'm-p cosp smqdpdq D=J- —S »

fs'm3p s'mq cosqdpdq

sin3/» sin'qdpdq

sin/> cos2pdpdq

„ f sin-p cosp cosqdpdq H-J "n >

fs'm2p cosp smqdpdq

ces intégrales étant complétées de la manière qu'on vient de le dire, on aura les valeurs suivantes des attractions cherchées

attraction dans la direction de la ligne a, — 2cA — zmaB — inbC; attraction dans la direction de la ligne b, — 2cD — imaY. — o.nbF; attraction dans la direction de la ligne c, — ïcG — am«H — inbl.

7. Corollaire I. — Il est clair que les valeurs des quantités A, B, C,... sont indépendantes des quantités a, b, c, qui déterminent la position du point attiré, ainsi que de la constante k qui entre dans l'équation à la surface; d'où il suit :

i° Que si l'on a deux points, dont l'un soit déterminé par les coordonnées a, b, c, et l'autre par les coordonnées la, 1b, 1c, proportionnelles III. So

à celles-là, les attractions du même corps sur le premier point seront à celles sur le second point comme i est à X, puisqu'en substituant la, 1b, le à la place de a, b, c dans les formules précédentes, on ne fait autre chose que les multiplier par le coefficient >.. Or il est facile de voir que la position des deux points dont il s'agit sera sur une même ligne droite menée par le centre de la surface qui est l'origine des coordonnées x, y, z, ainsi que des coordonnées a, b, c, et que la distance du premier point au centre sera à celle du second point au même centre comme i est à 1. D'où l'on peut d'abord conclure que les attractions sur deux points placés dans une droite menée par le centre de la surface seront nécessairement proportionnelles aux distances de ces points au même centre, pourvu toutefois que ces points ne soient pas placés hors de la surface. Et comme cette proposition est vraie en particulier par rapport à l'attraction que le solide exerce suivant chacune des coordonnées rectangles a, b, c, il s'ensuit qu'elle sera vraie aussi par rapport à l'attraction qu'il exerce suivant une direction quelconque donnée.

20 Que l'attraction sur un point donné placé au dedans du corps ou à sa surface, c'est-à-dire sur un point quelconque du corps, sera la même tant que les constantes metn de l'équation à la surface seront les mêmes, quelque valeur qu'on donne d'ailleurs à la constante k; or il est facile de prouver, par la nature de l'équation

z- -+- mx- -+- ny- = k,

que les constantes m et n déterminent l'espèce de la surface, et la constante k sa grandeur, en sorte que toutes les surfaces dont l'équation ne diffère que par la valeur de k sont semblables entre elles, et semblablement situées; d'où il s'ensuit que tous les solides semblables, dont la surface sera représentée par une équation de la forme

z'1 -+- mx- -4- ny2 = h,

exerceront nécessairement la même attraction sur un même point quelconque placé où l'on voudra dans l'intérieur ou à la surface de ces solides. Et de là on tire d'abord ce Théorème que, si l'on a un solide creux

dont les deux surfaces, l'extérieure et l'intérieure, soient semblables, son attraction sur un point quelconque de la surface intérieure sera nulle; car l'attraction du solide entier serait la même que celle de la partie qui occupe la cavité.

8. Corollaire II. — Considérons maintenant de plus près les valeurs des attractions suivant les lignes a, b, c; et, comme tout se réduit à avoir les valeurs des quantités A, B, C,..., voyons comment on pourra les trouver.

Pour faciliter beaucoup cette recherche, je commencerai par remarquer, en général , que si l'on a une fonction P de sin/? et de cos2/>, et qu'on demande la valeur de l'intégrale de P cospdp prise en sorte qu'elle soit nulle lorsque p — o, et complète lorsque p = 1 8o°, cette valeur sera nécessairement nulle; car comme

sin(i8o° — p) = sinp et cos(i8o° — p) = — cosp,

il est visible que les valeurs de Pcosp qui répondent à p et à 1800 — p seront égales et de signes contraires; d'où il s'ensuit que dans la suite des éléments V cospdp qui répondent à toutes les valeurs de p depuis p = o jusqu'à p = 1800, les mêmes termes se trouveront deux fois, mais avec des signes différents, en sorte que la somme totale sera toujours nulle.

De là on doit conclure que si P est une fonction de sinp, cos2yj et de s'mq, cos-q, et qu'on demande l'intégrale complète de Pcospdpdq ou de Vcosqdpdq ou de Pcos/) cosqdpdq, en faisant varier successivement les angles p et q, depuis o jusqu'à 180 degrés, chacune de ces intégrales sera nulle; car on aura, en faisant d'abord varier/?,

P cospdp = o, et faisant varier q, on aura de même

P cos qdq = o;

So.

donc, etc. Par le moyen de ce Théorème, on aura donc sans aucun calcul

par conséquent les valeurs des trois attractions suivant les lignes a, b, c se réduiront à celles-ci

— imaB, — 2 nb F, — ic G.

D'où l'on voit que ces trois attractions seront respectivement proportionnelles aux lignes a, b, c.

Or comme ces lignes sont parallèles aux trois axes du solide, il est clair qu'elles expriment en même temps les distances du point attiré à chacun des trois plans passant par ces axes. Donc l'attraction d'un point quelconque du solide, parallèlement à chacun de ses trois axes, sera proportionnelle à la distance de ce point au plan passant par les deux autres axes; par conséquent tous les points du solide qui seront à même distance de l'un quelconque de ces plans, c'est-a-dire tous les points placés dans un plan parallèle à l'un quelconque d'entre eux, seront attirés perpendiculairement à ce même plan par une force égale.