Corollaire III. — Si dans l'équation
z- h- mx2 -V- ny2 — h on fait n = m, elle devient
laquelle représente un sphéroïde elliptique formé par la révolution d'une ellipse dont l'équation serait
z2 + mu2 = k,
autour de l'axe des abscisses z; mais si m n'est pas égal à n, 'alors le solide sera un ellipsoïde dont toutes les coupes seront des ellipses. Dans l'un et dans l'autre cas l'attraction que le solide exerce sur un quelconque de ses points, parallèlement à l'un de ses trois axes, sera, par les Corollaires précédents, égale à celle qu'exercerait sur le point du même
DES SPHEROÏDES ELLIPTIQUES. 637
axe sur lequel tomberait une perpendiculaire menée du point attiré, un ellipsoïde semblable et semblablement situé, c'est-à-dire ayant le même centre et les mêmes axes, et qui passerait par ce même point de l'axe. Et cette attraction sera toujours proportionnelle à la partie de l'axe comprise entre ce point et le centre du sphéroïde.
10. Corollaire IV. — Il ne s'agit plus que de déterminer les valeurs des quantités B, F, G, c'est-à-dire des intégrales de ces formules
s'm3 p cos2q dp dq s'm3psin2qdpdq sinp cos'pdpdq
N étant (6) égal à
cos2/j -l- m sin2p cos-q -+- n suVp sin2g.
Pour y parvenir il convient de distinguer deux cas, suivant que m est égal à n ou non.
Supposons :
i° Qu'on ait m = n, ce qui est le cas d'un spbéroïde elliptique de révolution (numéro précédent), on aura alors
N = cos2p -+- m s'm2p,
en sorte que l'angle q disparaîtra du dénominateur.
Qu'on intègre donc en premier lieu suivant q, et l'on trouvera que l'intégrale des trois formules précédentes, prise en sorte qu'elle soit nulle lorsque q = o, et complète lorsque q = i8o°, sera
sin3pdp siri'pdp sinp cos2pdp „
où l'on voit que les deux premières quantités sont les mêmes, en sorte qu'on aura nécessairement B = F.
Pour pouvoir intégrer une seconde fois en faisant varier p, on supposera cosp = u, ce qui donne
N = m + 1 1 — m) u2 et
sh\3pdp (1 — u2)du sinpcos^pdp iCdu
N m -v- ( 1 — m ) u2 N m -+- ( 1 — ni) if
Soit de plus
— = u- et u = --j
on aura
{\—u-)clu (p.2— t2)dt i •+• p? dt dt
m -+- (î — m) u2 mp.2(i + l2) mp} i -+- t'z mp.%
et
k2c/w i2di <7/! c?;
w-+-(i — m)u2 mp'(i + <') »ip.3 mfi'(i + i!)
Or comme on doit intégrer ces formules en sorte que l'intégration commence lorsque p = o et finisse lorsque p =i8o°, il faudra, à cause de t = y.« — /jlcosjo, faire en sorte que chaque intégrale soit nulle lorsque t — p., et complète lorsque t = — p.; c'est pourquoi on aura
l dt — t — p., j - = arc tang t — arc tang;/,
et faisant ensuite t — — p.,
j dt= — zfj., j — = — 2 arc tang;/.
~ i i-. i sin3pdp
Donc 1 intégrale complète de — ^-^ sera
— - — - arc tang a -,
,, n sinp c os2 pdn et celle de — n
2 arc tang p.
donc enfin on aura
B = F = j- arc tangu — X
l i arc tang a \ oc „ G = -, — — f^- 1 X 36o°.
2° Soit n différent de m, ce qui est le cas où le solide est un ellipsoïde dont toutes les coupes sont des ellipses; dans ce cas le dénominateur N
contiendra l'angle q, et l'on ne pourra guère exécuter qu'une seule intégration, savoir celle qui se rapporte à l'angle p. Pour cela on remarquera que, comme dans cette intégration l'angle q est supposé constant,
,,• , i- . i s'm'pdp . j s'mp cos-pc/p .
on aura pour 1 intégrale complète de — ^— - et de — r „ f — *- les
mêmes expressions que ci-dessus, en y substituant simplement, à la place de m, la quantité m cos2q -+- n sin2^, ou bien (en faisant n — m-hv) celle-ci, m-t- vsin2^. Dénotant donc ces valeurs par Q et Q', il n'y aura plus qu'à intégrer les différentielles
Qcos-qdq, Qsin'qdq, Q't/q,
en faisant varier q depuis q = o jusqu'à </ = i8o°; et l'on aura les valeurs cherchées de B, F, G.
11. Remarque. — M. Maclaurin, dans son Traité du flux et du reflux de la mer, s'est contenté de chercher l'attraction d'un sphéroïde elliptique sur un point quelconque de ce sphéroïde, et les résultats de sa belle méthode synthétique s'accordent parfaitement avec ceux que nous venons de trouver par l'Analyse. M. d'Alembert vient d'étendre la solution de M. Maclaurin à des sphéroïdes où toutes les coupes seraient elliptiques, en faisant remarquer que les propositions qui servent de base à cette solution sont également vraies à l'égard de tous les sphéroïdes elliptiques, soit de révolution ou non : c'est ce que nous avons trouvé directement par notre Analyse dans les trois premiers Corollaires du Problème précédent. A l'égard de la valeur absolue de l'attraction des sphéroïdes qui ne sont pas de révolution, M. d'Alembert a essayé de la déterminer par différents moyens très-ingénieux, mais dont aucun ne lui a pleinement réussi. Un des plus simples parait être celui que nous avons employé dans le Corollaire IV, 2°; mais il est facile de se convaincre que les intégrations qui restent à exécuter pour avoir les valeurs des constantes B, F, G échappent à toutes les méthodes connues jusqu'à présent.
Au reste, si le sphéroïde proposé différait peu d'un sphéroïde de révolution, en sorte que v = m — n fût une quantité très-petite, on pourrait déterminer son attraction par approximation aussi exactement qu'on
voudrait. En effet, il n'y aura qu'à substituer m -+- n sin2^ au lieu de m dans les valeurs de
et de
Q = ! — arc tangu
m fj.3 ' ni[x-
i arc tangu
m jU.°
(p.2 étant - — m et développer ensuite ces quantités suivant les puissances de v; ce qui changera la quantité Q en
Q -'. — -, — v sin-ar H ; — - v- sinV/ H- . . . ,
«w -1 1 dm- '
et la quantité Q' en
0 H ; — v sin2</ H ; — r v2sin*o H-. . .;
c//?7 3 2 dm- .
on multipliera maintenant la première de ces quantités par cos,2qdq et par s'm2 qdq, et la seconde par dq, et, prenant les intégrales en sorte qu'elles soient nulles lorsque q = o et complètes lorsque q = 180°, on aura les valeurs cherchées des quantités B, F, G. On aura donc de cette manière
r /''no. v f/Qo- 2v2 ' f/2Q . 5v' ' f/3Qo. '^ ■ d*Q , \ ô „
\2 o «/h 02 1 dm- 120 a.j (Mi1 012 2.3.4 «fli /
„ (i-n 3v dQ iov2 1 d'Q 35v3 1 f/3Q i2.6v4 1 d'Q \ . \2 o dm 02 2 dm' 120 2.0 dm3 012 2.3.4 «/h1
G — fo' - ^- • — - --00 1^! J ^!Q1 . ^ ! rf4Q' ,
\ 2 é?/h 8 2 é//?i2 32 2.3 dm1 ' 128 2.3.4 dm'
Problème IV.
12. Les mêmes choses étant supposées que dans le Problème III, on demande l'attraction du sphéroïde sur un point placé au dehors.
On aura dans ce cas les mêmes formules différentielles que dans celui du Problème cité; toute la différence consistera dans la manière de coin-
pléter chaque intégrale; on suivra pour cela les règles données dans le nu 5, i°, et il est facile de voir qu'après la première intégration suivant la variabilité de r, on aura les mêmes formules que dans le Problème III, mais avec cette différence qu'au lieu de la somme r' -+- r" des deux valeurs de r il faudra mettre leur différence r'—r". Ainsi les premières intégrales des trois attractions suivant les trois axes du sphéroïde seront
(r' — r") sin2 pcosq dp dq, (r — r" ) sin2p sin qdpdq, (r' — r") sin p cospdpdq.
Maintenant, si l'on représente par
r- 4- imr H- p = o
l'équation en r dont r' et r" sont les racines, on aura, comme on sait,
[r'— r'")2 = 4(sTï— p); donc
Qu'on suppose, pour abréger,
c cosp H- ma sin p cosq -+■ nb sh\p sh\q = M, cos2p H- m sin2/) cos2^ -+- n sin2/? s\n2q = N, c2 + ma2 -i- nb2 — k = II,
et l'on aura (Problème III)
donc
„ 2i/M2— AN
Ainsi il n'y aura qu'à substituer cette valeur dans les formules précédentes et intégrer ensuite par rapport à la variable/?; pour compléter ces intégrales on fera r' = r", c'est-à-dire r' — r" = o, et l'on aura
M2-/iN = o, III. 8.
équation d'où l'on tirera les deux valeurs extrêmes de p, ou plutôt de sin/j ou de cos/>, lesquelles détermineront l'étendue qu'il faudra donner aux intégrales dont il s'agit. On intégrera enfin relativement à q, et pour avoir les valeurs extrêmes de q il n'y aura qu'à chercher les conditions qui donnent des racines égales à l'équation
M2- AN = o,
ordonnée relativement à sinp ou cosjs; connaissant ces valeurs, on s'en servira pour compléter les dernières intégrales.
13. Corollaire I. — Considérons le cas d'un sphéroïde de révolution auquel onam = n; on aura donc
M = c cosp -+- msmp(acosq + b s'mq), N = cos2p -+- m sin2p.
Supposons de plus qu'on cherche seulement l'attraction du sphéroïde pour un point quelconque de son axe de révolution; il faudra faire a = o, b =o, et l'on aura simplement
M = ccosp; d'où l'on voit que l'équation
M2 — AN = o
ne renfermera point l'angle q, et qu'ainsi les intégrations relatives à p et q seront indépendantes l'une de l'autre , en sorte qu'il sera libre de commencer par celle des deux qu'on voudra; de plus, l'intégration relative à q devra s'étendre (5, i°) depuis </ = o jusqu'à <7 = i8o°.
Faisant pour plus de simplicité sinp=u, on aura, à cause de h=-c- — k,
W — AN = c2(i — m2) — h (i — wJ) — mh W — c1 — h — ( c2 — A -4- mh ) u2 = k — [Je + m(c2 — /r)] u\
et les trois formules différentielles deviendront
u2cosqdpdq, iC- sin qdpdq,
iJk-
— «î/i -+- me2
zJk-
Uf:
— mk -t- me2
2 i//r — (/r — mk -t- me2) ?<2 , , t. — - — — ududq
Or comme l'équation donne
{k — mk + me2) u2
V k - mk
il s'ensuit que les intégrations relatives à l'angle/? devront s'étendre depuis p = z jusqu'à p = — a, en prenant
in v4
D'où il est facile de conclure d'abord que l'intégrale complète de la
quantité
\Jk — (k — mk -t- me2) u2 2 , î — ( î — m ) u2
sera nulle; car si l'on dénote par A l'intégrale de cette quantité prise depuis p — o jusqu'à p — x, il est clair que l'intégrale de la même quantité depuis p = o jusqu'à p— — a sera égale à — A, puisque if = sin2/? conserve la même valeur en prenant p négatif; or il est visible que l'intégrale depuis p — a. jusqu'à p — — a n'est autre chose que la somme des deux précédentes, c'est-à-dire A — A = o.
Donc l'intégrale de chacune des deux premières formules différentielles sera nulle; par conséquent l'attraction perpendiculaire à l'axe de révolution dans lequel est prise l'ordonnée c sera nulle; ce qui est d'ailleurs évident de soi-même.
(*) Le facteur 2, qui figure dans ces formules et dans celles qui en résultent par l'intégration, est omis dans le texte primitif; nous avons cru devoir le rétablir ici.
[Note de l'Éditeur.)
II ne reste donc qu'à chercher l'intégrale de la troisième formule différentielle, et comme on peut intégrer d'abord suivant q, on aura, en exécutant cette intégration, et complétant l'intégrale en sorte qu'elle commence au point où q == o et qu'elle finisse à celui où q — 1800, on aura, dis-je, la formule
2 Jk — (k — mk -+- me2) u- u du „
Ainsi il ne s'agira plus que d'intégrer la quantité
et pour cela on fera ce qui donne
i\Jk — (k — mk -+- me2 ) u1 udu i — (i — m) u2
\Jk — (k — mk -I- me'') u1 = t, k - t2
k — mk -+- me2 moyennant quoi la différentielle proposée se transforme en celle-ci
it2dt il,
dt
me2 + ( i — m) t2 i — m
dont l'intégrale est évidemment
me2 t
— X arc tang
pour compléter cette intégrale il faut se ressouvenir qu'elle doit s'étendre depuis p = a jusqu'à/» = — a; et pour éviter toute erreur il conviendra de chercher à part les deux portions qui s'étendent, l'une depuis p = o jusqu'à jo= a et que nous dénoterons par A, l'autre depuis/» = o jusqu'à p= — x et que nous dénoterons par B; et la somme A -H B sera l'intégrale complète cherchée. Or en faisant p = o on a u = o, donc
DES SPHÉROÏDES ELLIPTIQUES. 6i5
t— \fk; par conséquent la constante à ajouter à l'intégrale ci-dessus sera
2 / IT I mC7 l//l' \
faisant ensuite p — et on aura t = o, et faisant p — — a on aura de même t = o; d'où il suit qu'on aura
a / ,T / /ne2 i//r \ / v//i- — \/ — — X arc tang — / \
clone l'intégrale cherchée sera égale à 2 A; et, multipliant par 180 degrés, on aura enfin la quantité
pour la valeur de l'attraction du sphéroïde sur un point de l'axe placé à la distance c du centre.
Ce Problème a aussi été résolu synthétiquement par M. Maclaurin dans son Traité des Fluxions, et nos solutions s'accordent dans les résultats.
14. Corollaire II. — Si l'on voulait résoudre la question du Corollaire précédent sans supposer m = n, c'est-à-dire en regardant le sphéroïde comme simplement elliptique sans qu'il soit de révolution, la quantité N serait (en faisant toujours sinp = u)
1 — h2 -h {m cos-q -+- ti sin2q u-,
au lieu d'être simplement
1 — u' -+- mif ;
en sorte que pour appliquer les formules différentielles du n° 13 au cas
présent il suffirait d'y mettre partout m cos-q -+- n sm2q à la place de m.
De là on peut d'abord conclure que les intégrales relatives à/? seront 'es
mêmes que ci-dessus, en y changeant seulement m en mcos2q -+- nsin-q. Donc les intégrales des deux premières formules seront aussi nulles, et celle de la troisième sera représentée par la quantité
AÉ1 f.n, » / mc2 ^ «.„ . " Û.
— \/ X arc tang — } \ ■
laquelle devra donc encore être intégrée relativement à q, après y avoir substitué partout mcos^q + nsin2^ à la. place de m. Or comme les deux valeurs extrêmes de p sont (13) p = a et p = — a, il est visible qu'elles ne peuvent devenir égales qu'en faisant a. = o, et par conséquent
et li — mk -+- me- = oo ,
k — mk + me2
ce qui ne se peut; ainsi, ne pouvant tirer de cette condition les valeurs de q nécessaires, pour compléter l'intégrale de la quantité précédente, on prendra cette intégrale en sorte qu'elle commence où q = o et qu'elle finisse où q = i8o°; mais l'intégration de la différentielle dont il s'agit étant très-difficile, si même elle n'est pas impossible, nous ne nous y arrêterons pas; outre que cette matière n'est pas proprement de l'objet auquel ce Mémoire était destiné, elle a d'ailleurs été déjà savamment discutée dans le sixième volume des Opuscules de M. d'Alembert, auquel il nous suffira par conséquent de renvoyer.
15. Remarque. — On trouverait des difficultés beaucoup plus grandes si l'on voulait déterminer par les formules du Problème précédent l'attraction du sphéroïde sur un point placé hors de l'axe; car alors les quantités a, b n'étant point nulles, les expressions des attractions différentielles seraient trop compliquées pour qu'on put les traiter par les méthodes connues. On peut cependant ramener en quelque manière tous les cas à celui où le point, attiré est placé dans le prolongement de l'axe des coordonnées s, en changeant la position des coordonnées rectangles x, y, z de manière que l'axe des z passe par le point attiré; car
alors on aura également a = o et b = o; ce qui pourra peut-être faciliter les intégrations relatives aux angles p et q.
Pour faire cette transformation des coordonnées de la manière la plus générale, on remarquera que nommant ce', y', z' les nouvelles coordonnées rectangles, qu'on suppose avoir la même origine que les coordonnées x, y, s, les valeurs de celles-ci en celles-là seront exprimées de cette manière
x = \x' -+- \>.y' -\-vz',
les coefficients X, p., v, X',... dépendant uniquement de la position des coordonnées x',y', z' relativement à celle des coordonnées x, y, z.
Or comme on suppose que les coordonnées x', y', z' se rapportent aux mêmes points que les coordonnées x, y, z, on aura nécessairement
donc il faudra qu'on ait
-+- 2( Xp -t- X'fi'-H Y [j")x' y' + 2 ( Xv -t- X' v' -t- XV) .rV -+- 2 (ftv -t- p.' v' + p'V) jV
équation qui doit avoir lieu indépendamment des valeurs de a?'", j', s'; c'est pourquoi il faudra qu'on ait, en particulier, les conditions suivantes
X2+ X'2 + X"2= i, u.2 + \)!2 + ii."2 = 1 , y* -f- i/s -+-■ v"2 = i,
Ap. -t- X'f/ -+- A" y." = o, Xv -t- XV + X'V = o, u.v + y.V -4- fj."v" — o,
qui serviront à déterminer six des neuf quantités X, p, v, X', p.',....
Maintenant, comme a, è, c sont les coordonnées qui déterminent la position du point attiré, relativement aux axes des premières coordonnées x, y, z, si l'on nomme de même a', b', c' les coordonnées qui détermineront la position du même point relativement aux axes des nouvelles
coordonnées x', y', z', on aura pareillement
a = X a' -+- [j. b' -+- v c' , b == l'a' ■+■ jj.'b' + v'c' , c = ~k"a' -+- p." 6' 4- v"c'\
et ces équations serviront à déterminer les trois restantes des neuf quantités X, p., —
Supposons maintenant que l'on ait a' = o et b' — o, pour que le point attiré se trouve dans l'axe même des coordonnées c'; et l'on aura
a = vc', b=:v'c', c = v"c',
Ensuite on déterminera les autres quantités X, X', X", p., p.', p." par les six équations ci-dessus.
On substituera donc à la place de x, y, z les expressions ci-dessus dans
l'équation
z- H- mx2 4- ny2 = /r ;
ensuite il faudra mettre (6) à la place des nouvelles coordonnées x , y', z' les quantités rsinjocos^, rsinpsmq, c' -+- reosp; et l'on aura l'équation
m[lr sinpcosçM- p. r sinp sin q 4- v (c'4- rcosp)]M -h n[l'r sinp cosq 4- p.'r sinp sin g + v' (c'-t- rcosp)]2 > = /c, 4- [X"rsin/> cosg 4- fj."rsinp sinq 4- v" (c' 4- r cosp»)]2 )
laquelle, étant ordonnée par rapport à 7-, deviendra
m( X sinp cosq -,- y. sinjusin</ 4- v cosp)2 i- /i (X' sinp cos</ 4- p' sinp sin</ 4- v' cosp)2 h (>." sinp cosg 4- y." sinp sinq -+- v"cosp)2
mv{l sinp cosç -+- p. sinp sinçr -t- v cosp) h nv'{l' sinp cos</ -+- p.' sin/> sin</ h- v' cosp) -I- v" (X"sin/> cosq -+- p."siny? sin</ -h v"cosp)J ' mv2 4- ny'2 4- v"2)c'2 — /f= o.
Donc faisant
m (1 sin p cosq -i- ;j. sin p sin q -+- vcosp)2
■n(l' sinp cosq -+- y! sinp s'mq -+- v' cospf (l"sinp cosq -+- [J." sinp sin q -f- v" cosp )2 . ' ( m \v -h n XV -h ~k"v" ) sin// cosq ~|
M == 1 -h ( m jj.v + n [j.'v' + p.V ) sinp sin (y I X C ',
-1- (mu' -f- rev" -f- v"2) cos/j J A = ( m»! -H /iv'2 + v"2 ) c'2 — If = cC -t- mi2 + ne2 — /i ;
Nr'+ aMr-f- A = o; d'où l'on tire la différence des racines
a^/M2 — AN
valeur qu'il faudra substituer dans les formules différentielles du Problème IV, après quoi on intégrera relativement à p et à q, en observant les règles données dans ce Problème. Mais comme les valeurs ci-dessus de M et de N sont presque encore plus compliquées que celles du n° 12, il s'ensuit que la méthode précédente ne saurait être d'une grande utilité dans la solution du Problème dont il s'asït.
