Donc, si l'on fait pareillement

X = ri' Ç" - Ç V, Y = -Ç l" -£'£", Z = £'•/)" - „' l", X' = •/)" Ç - ?"•/) , Y' = 4" g - l"l, Z = £"n - Y)" £, X" = v)Ç' — ÇV, Y*=SE'— U\ Z"=£y,' -•„£',

et ensuite

A =«'«"— (32, B = (3'(3" — aj3,

A' = ««" — (3'% B' = (3 [3" — a'(3', A" =aa' — P"2, B" = (3 (3' — a" (3", on, aura aussi

X'2 + Y'2 4- Z'2 = A', XX" 4- Y Y" 4- ZZ" = B', X"24-Y"24-Z"2= A", XX' 4- Y Y' 4-ZZ' =B".

3. Or en substituant les valeurs de §, %,... en x, x ',... et faisant, pour abréger,

A = xy'z" -h y z' x" 4- z x' y" — x z' y" — y x' z" — z y'x" ,

on trouve

X = Ax, Y =Ay Z = Az,

X'=Ax', T=Ay', Z' = Az',

X" = Ax", Y" = Ay", Z" = Az";

donc mettant ces valeurs clans les dernières équations ci-dessus, on aura, en vertu des six équations supposées dans le n° 1,

A =--A-«, B = A36, A' = A2a', B' = A26', A"^--A:«", B"=AJ6",

et de là il est facile de tirer la valeur de A2 en a, à , a", b,.,,; car on aura d'abord

et, substituant les valeurs de a!, a", fi en a, a',... (1),

A2 = a a' a" -+- o.bb' b" — ab2 — a' b'- — a" b"'1;

on trouvera la même valeur de A2 par les autres équations. Si l'on remet dans cette équation les quantités x, y, z, se',..., on aura la même équation identique que nous avons donnée dans le Le m me ci-dessus (*).

4. Il est bon de remarquer que la valeur de A2 peut aussi se mettre sous cette forme

or si l'on multiplie cette équation par A2 et qu'on y substitue ensuite A à la place de A2«, A' à la place de A2tf', el ainsi de suite (numéro précédent), on aura

ou bien en mettant pour A, A',... leurs valeurs eu a, «',... (2)

A4 = a a' a'' -+- 2 (3 [3' (3" — se (32 — a'(3'2 — a" fi"-;

d'où l'on voit que. la quantité A2 et son carré A1 sont des fonctions .semblables, l'une de a, a', a", b, b', b", l'autre de a, a', a", fi, fi', fi".

(*) Ce Lemme est la première des propositions du Mémoire relatif au mouvement de rotalion d'un corps solide. Voir à la page 58o de ce volume. (Note de l'Editeur.)