De plus, comme on a
xy'z" -+- y z' x" -t- z x' y" — x z' y" — yx'z" — zy'x"
= \fa a' a" + 2 b b' b" — ab2 — a' b'2 — a" b"- = A,
et qu'il y a entre les quantités x, y, z, x' ,... et a, a', a", b,... les mêmes relations qu'entre les quantités S,, ïj, 'Ç, £',... et a, a', a", |3, . . . (1), on aura donc aussi
? ■/]' Ç" + ni Ç' l" + ç ÇV - 1 ç V - ■/) £' Ç - Ç -/)' ç»
= sjx oc' a." -+- 2 (3 (3' (3" — a(32 — a! (3'2 — a" |3"2 = A2.
Donc on aura cette équation identique et très-remarquable
W Ç" -+- n 'Ç r + Ç gV - IK' n" - * g' Ç" - Çn'g"
= (xy'z" -+■ yz'x" + z.r' jy" — .r 2'j" — yx'z" — zy'x" )3.
6. Si les six quantités a, ex', a", ]3, j3', /3" étaient données et qu'on voulût déterminer par leur moyen les six quantités a, a', a", b, b', b", il serait peut-être très-difficile d'en venir à bout à l'aide des six équations du n° 1 entre ces quantités; mais on y parviendrait aisément par les formules des numéros suivants.
On formera pour cela les six quantités A, A', A", B, B', B" (2); ensuite on formera la quantité (4)
■ A2= s/ot. x'x" -+- 2 (3 (3' (3" — a (3'— x' (3'2 - x" (3"', et l'on aura sur-le-champ (3)
7. Si l'on multiplie les neuf premières équations du n° 1 respectivement par x, x', x" , y, y', y", z, z' , z", et qu'on les ajoute ensemble trois III. 84
à trois, on trouvera ces neuf-ci, en mettant A à la place de la quantité œy'z"-\-yz'x" -\- . .. (3)
x\ ■+■ x' 'il -t- x" £" = A, y H H- y' ï! -i- j" £" = o, z'£ -h z' '£,' -h z" £" = o, x-ri -\- x'n' -+- x" Tt" = o, j^vi h- r'y/ -{- y"-/i" — A, z-/] -l- z'yj'-t- z"n" = o, 2'Ç + j'i' + ^'Ç" = o, j-Ç -4-j'Ç' -t-j"Ç" = o, zÇ -4- z'Ç' ■+■ z"Ç" = A;
et l'on trouvera de même ces neuf autres-ci
x\ -hyn -4-zÇ = A,' x'\ -j-y'-n -t-s'Ç = o, x"\ -\-y"~i\ + z"Ç =o, £■£' -r-yn' -f-*Ç' = o, x'% -t-jV -+- z'Ç' = A, a;" £' H- j'V -h z" Ç' = o,
•r ?" "+- yn" -t- z'C'=o, x' %' -+- y'n" + z' Ç" = o, x" £" -+• j'V -l- z" Ç" = A.
8. De plus, si l'on ajoute ensemble trois à trois les neuf premières équations du numéro précédent après les avoir multipliées respectivement par %, ri, 'Ç, ensuite par %', t\' , 'Ç', et enfin par %", vj", Ç", on aura, en vertu des six dernières équations du n° 1 ,
ax + P"x' 4- $'x" ^ ay+ Ç>" y' H- Ç>'y"
(3"z + ol'z
+ Pz'
. fi'x -t- (3x' -+- a" a?" (3'r H- 13 r' -+- a"r" w/ ç- — ^- -, ■« = , Ç
Et, si au lieu de multiplier les mêmes équations par S, y;, Ç, £',..., on les multiplie respectivement par x, y, z, x' ,..., et qu'on les ajoute de même trois à trois, on aura ces neuf autres-ci
Ces relations entre les quantités x, x', x", y, . . . et leurs correspondantes 2, §', £", •/),... sont très-remarquables et peuvent être utiles dans différentes occasions.
ai-
a-ri -+-
aÇ + b"'Ç
+ bï"
lf
-ha"'C
9. Regardons maintenant les trois quantités x, y, s comme les coordonnées rectangles d'un point M rapporté à trois axes fixes et perpendiculaires entre eux, et pareillement les quantités x', y', z' comme les. coordonnées rectangles d'un autre point M' rapporté aux mêmes axes, et enfin les quantités x", y", z" comme les coordonnées rectangles d'un troisième point M" rapporté également à ces mêmes axes; on aura, en joignant ces trois points par des lignes droites, un triangle M M' M" dont la figure et la position seront déterminées par les neuf coordonnées x, y, z, x', — Qu'on mène de plus des trois points M, M', M" au point d'intersection des trois axes, point que nous désignerons parL, trois autres droites, et l'on aura trois autres triangles ML M', M'LM", M"LM qui, avec le triangle précédent MM'M", formeront une pyramide triangulaire dont les quatre angles seront aux points L, M, M', M"; ainsi la forme et la position de cette pyramide seront également déterminées par les mêmes
coordonnées x, x', x", y, C'est sur les propriétés de cette pyramide
que doivent rouler les recherches qui composent ce Mémoire.
10. Et d'abord "il est visible par les formules du n° 1 que les quantités a, a', a" expriment les carrés des distances des points M, M', M" au point L, et que les quantités
a + a' — i b", a-\-a" — ai', a! H- a" — ib
expriment les carrés des distances entre les points M et M', entre les points M et M", et entre les points M' et M"; de sorte que si l'on désigne les carrés de ces distances par c", c , c, on aura
Ainsi les six côtés de la pyramide dont il s'agit seront
y/«, y/ô7, \Ja" , sjc" , y/c' , \Jc;
les trois premiers concourent au point L, qu'on peut regarder comme le sommet de la pyramide, et les trois derniers en forment la base; de ma-
nière que le côté y/c" joint les deux y/a, \[a' , le côté y/c7 joint les deux y/a, \Ja", et le côté y/c joint les deux y/a' , y/a"; ce qui forme par conséquent quatre triangles, qui sont les quatre faces de la pyramide, et dont les côtés sont y/a, y/a', y/c" pour la première face latérale MLM'; y/a, y/a", y/c7 pour la seconde face latérale MLM"; y/a7, y/a", y/c pour la troisième face latérale M'LM", et y/c, sfc' , y/c" pour la face qui sert de base MM'M".
11. Si l'on voulait, à la place des côtés c, c', c" de la base, introduire les angles y, y', y" qui leur sont opposés au sommet de la pyramide, il n'y aurait qu'à remarquer que dans le triangle M'LM", dont les côtés sont y/a, y/a", y/c, on a
c = a' ■+- a" — 2 \]a'a" cosy ; donc substituant cette valeur dans l'expression de b, on aura
b = \J a' a" cosy;
on trouvera de même les valeurs de b1', b" exprimées en cosy' et cosy"; et l'on aura de cette manière
b = \ja'a" cosy, b' == \jaa" cosy', b" = \jaa! cosy".
12. On sait que si /, g, h sont les trois côtés d'un triangle rectiligne, son aire est exprimée par la formule
\ ^/v + a/^ + tg^-f* -s4- * = \ v/4/2g-2-(/2+r-^2)2 •
Ainsi pour le triangle MLM', dont les côtés sont y/a, y/a7, y/c", on aura l'aire
Pour le triangle MLM", dont les côtés sont y/a, y/a", y/c', on aura l'aire
1 / — r, rr, \la'
et pour le triangle M'LM", dont les côtés sont \ja' , sja", \jc, on aura l'aire
i m, — r-i \/a - Jaa — b2 = ^— •
Reste encore à considérer le triangle MM' M", dont les côtés sont sfc, sjc , sjc"; nommant E l'aire de ce triangle, on aura par la formule cidessus
i6E' = 4cc'— (c-+- c' — c")2;
mettons pour c, ti ' , c" leurs valeurs
rt' + a"— ib, a + a" — ib' , a-ha'—ib", on aura
4E2=(a'+a"— ib){a-\-a"— ib') — (a"— b — b' -\- b" f ■ = aa' -f- aa" -+- a' a" — lab — ia' b' — ia" b" -t- 266' + ibb" -+- ib' b" — b-— b'2— b" "■
donc .
\Ja + oc' -+- a" + 2 (3 + 2 ft' + 2 (3"
Ainsi les aires des quatre faces de la pyramide s'expriment d'une manière fort simple par les quantités ex, oc', oc", /3, j3\ j3" (1); on a pour celles des trois faces latérales les quantités
et pour l'aire de la base la quantité
s/a + a' -+- a" -+- 2 (3 -+- 2 (3' + 2 fi'7
13. Voyons maintenant comment doit être exprimée la solidité de la pyramide. On sait que toute pyramide est égale au tiers du produit de sa base par sa hauteur; or nous avons déjà trouvé la valeur de la base E; ainsi, nommant h la hauteur de notre pyramide, c'est-à-dire la valeur de
la perpendiculaire menée du sommet L sur le plan du triangle opposé
FA M M' M", on aura -r- pour la solidité cherchée; mais la difficulté consiste
à trouver la quantité h. Soient s, t, u les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position d'un point quelconque N du plan dont nous venons de parler, on aura, comme on sait, l'équation
u = / -+- ms -+- ni,
les quantités /, m, n étant des constantes qui dépendent de la position du plan; et comme ce plan est supposé passer par les trois points M, M', M", pour lesquels les coordonnées sont (9)
on aura, en substituant successivement ces valeurs à la place de s, t, u, les équations suivantes
z = l -t- mx -t- ny,
z' =z l -+- mx' -+- ny', z"= l + mx" -+■ ny",
par lesquelles on pourra déterminer les trois constantes /, m, «. Retranchant d'abord ces équations l'une de l'autre, on a ces deux-ci
d'où l'on tire sur-le-champ
c'est-à-dire en développant les termes et substituant les quantités §, £',...
du n° 1 ,
l -t- '£' -h %' -/i + n'+'d" m = — t, rr, r.7, t n — — ^ •
Ensuite la première équation donnera
1 = z — mn — nr = — ^ ir. irr. — ■>
ce qui , en vertu des équations du n° 7, se réduit à cette expression fort simple
On a donc ainsi l'équation du plan de la base de la pyramide; nous l'avons cherchée d'autant plus volontiers qu'elle nous sera fort utile encore dans la suite.
14. Or la ligne menée du sommet L à un point quelconque N de ce plan, c'est-à-dire la distance des points L et N, est exprimée par
et il est clair que la plus courte de toutes ces lignes sera la quantité cherchée h; ainsi il n'y aura qu'à faire égale à zéro la différentielle de
\/s2-h t2-h u2 , ce qui donne
sds + tdt -+- udu = o ;
mais l'équation
m = / -I- m* -i- nt
donne
du = m ds + w dt ;
donc substituant cette valeur et égalant séparément à zéro les coefficients de ds et de dt, on aura
s ■+■ mu = o, t h- nu — o,
donc
s = — mu, t = — nu;
ce qui, étant substitué dans l'équation
u = l -t- ms -t- nt,
donne
et de là
l ± ni ml
et, substituant ces valeurs dans l'expression \/s2-+- 12-+- u2 , on aura la valeur cherchée de h, qui sera donc
y/ 1 -h m2 -h n2 Substituons à présent à la place de /, m, n leurs valeurs trouvées ci-des-
sus, on aura h
VU -+- V + l"Y ■+■ (») + V + -n"Y -+- (? + S' -+- ?" )J
c'est-à-dire, en développant les termes qui sont sous le signe et faisant les substitutions du n° I,
Mais on a trouvé (12
donc on aura pour la solidité -~- de notre pyramide la quantité -^- C'est
ce que nous avons déjà démontré d'une autre manière ci-dessus, où nous avons nommé /3 la même quantité que nous désignons ici par A (*).
15. Il est bien remarquable que la quantité A exprime la solidité de la pyramide prise six fois; si donc on veut exprimer cette solidité par les six côtés s/a, s/a1, sja" , \fc, \/c', sic" , il n'y aura qu'à mettre dans la valeur de A, à la place de b, b', b" , les expressions du n° 10; mais il sera plus simple de conserver les quantités mêmes b, b', b", et l'on aura (3) la solidité cherchée égale à
\Jaa'a" + ibb' b" — ah2 — a! b'2 — a" b"2 (*) OEuvres de Lagrange , t. III, p. 585.
Et comme nous avons trouvé plus haut que les aires des faces de la pyramide s'expriment d'une manière fort simple par les quantités oc, a', . . ., on pourra aussi, si l'on veut, exprimer la solidité de la pyramide par ces mêmes quantités à l'aide des formules du n° 4; on aura de cette manière la solidité de la pyramide égale à
l/aa'a"+ i (3 (3' (3" — « (32 — a! (3'2 - a." (3"2
16. Comme il faut six éléments pour la détermination d'une pyramide triangulaire, il est clair que si l'on ne connaissait que la valeur de l'aire de chacune de ses quatre faces, avec celle de sa solidité, on n'aurait que cinq équations, et que par conséquent le Problème de trouver la pyramide qui satisferait à ces données serait indéterminé. En effet les aires des trois faces latérales donneraient les valeurs des trois quantités a, a', a", et celle de la base donnerait la valeur de /3 -+- j3'+ |3" (12) ; ensuite la considération de la solidité donnerait (numéro précédent) la valeur de
la quantité
wV'+sp (3' (3" — a (31' — a.' (3'! — a." (3"-,
de sorte qu'on n'aurait que deux équations entre les trois inconnues j3, fi' , fi". On pourrait donc prendre une de ces inconnues à volonté, et alors la solution du Problème se trouverait réduite à la résolution d'une équation du second degré.
17. Mais s'il n'y avait de donné que les quatre faces de la pyramide, et qu'il s'agit de trouver les dimensions de la pyramide dont la solidité serait la plus grande, on pourrait résoudre cette question par nos formules avec beaucoup de facilité.
Car il est d'abord clair que les trois quantités <z, a, c" seraient données ainsi que la quantité j3 -+- 13' -+- |S" ; ainsi il ne faudrait que rendre un maximum la quantité
aa'a" -h 2(3(3' (3"— afi2 — a' p'2— a." (3"2,
en v regardant <z, a', y" comme constantes, et |3, j3', |S" comme variables,
mais de manière que leur somme demeure constante; on aurait donc ces deux équations différentielles
dÇ> -t- rf(3' -+- fi?(3" = o,
d'où chassant 6?j3", et égalant à zéro les coefficients de rfjS et rfjS', on tire ces deux équations de condition
qui renferment la solution du Problème. Ces deux équations se réduisent par les formules du n° 2 à
et par celles du n° 3 à
d'où l'on voit que les trois quantités b, b', b" doivent être égales entre elles. Ainsi, comme les quantités a, a' , a" sont supposées données ainsi que la somme ]3 -t~ p'-i-/3", on aura ces quatre équations
a' a" — 62 = a, aa" — b-=oc', ad — è2=a", 3 b-- — (a + «' -t- a") b = (3 -+• (3' + (3",
d'où il faudra tirer a, a', a" et b.
Si l'on fait pour plus de simplicité
on a, en divisant la dernière équation par è,
a + a +ff =36.— T) o
et prenant les carrés
a2 -+- a'2 + a"2 + 2 ( aa' + aa" -t- a! a" ) = g b2 — 6e -h -,-'■> or les trois premières équations donnent
aa' = a." -+- b2, aa" = oc' + b1, a' a" = a + i2,
et de là on tire
(oc
è2 Donc substituant ces valeurs et faisant pour simplifier encore
2 (a 4- «'+ a") 4- 6s = â et b2=u,
on aura, après avoir ôté les fractions,
équation qui, étant développée, ne montera qu'au quatrième degré par la destruction des termes qui contiendraient u5 ; et l'on trouvera que le premier terme de cette équation sera
c'est-à-dire (en remettant la valeur de 5 et de e)
et que le dernier sera — ^aa'à"; de sorte que comme les quantités a, a', a" sont nécessairement positives (12) ainsi que la quantité
ces deux termes seront de signes différents; par conséquent l'équation aura toujours au moins une racine réelle et positive.
Ayant trouvé une valeur positive de u, on aura b = \u, et de là on aura a, a', a" par les formules ci-dessus; ainsi l'on connaîtra les six côtés de la pyramide, à cause de b'— 6"= b.
18. Considérons un autre point P placé où l'on voudra, au dedans ou
676 SOLUTIONS ANALYTIQUES DE QUELQUES PROBLÈMES au dehors de la pyramide, pour lequel les coordonnées rectangles soient p, q, r, et supposons que le carré de la distance de ce point au sommet L de la pyramide soit/, que les carrés des distances du même point aux points M, M', M" de la base de la pyramide soient g, g', g"; il est facile de concevoir qu'on aura
~xf -h(q-
-xf +('•
-rT + C
d'où, en faisant, pour abréger,
h = a+f—gt jf> — a'+f-g' t k„ a"+f~ S"
on tire (1) ces trois équations
px -+- qy -+- rz — h, px' -+■ qy' + rz' = h', px" H- qy" + rz" = /<",
par lesquelles on pourra déterminer les valeurs des coordonnées/), q, r\ et l'on trouvera par les règles connues de l'élimination, en mettant les quantités |, %',... à la place de y'z"— z'y", zy"—yz" ',... (1) et la quantité A à la place de xy'z"-+- yz'x"-\-... (3),
19. Or il faut que ces# valeurs de p, q, r satisfassent à la première
équation
frn
-t- Ar'Ç'-t- A"
les y substituant donc, et faisant les substitutions des dernières formules du n° 1, on aura, après avoir multiplié par A2,
équation qui servira à déterminer, si l'on veut, la quantité/par les quantités g, g', g", a, a', a", b, b', b".
Ainsi l'on pourra par le moyen de cette équation résoudre le Problème suivant, qui parait d'ailleurs assez difficile.
20. Étant donné un solide formé par deux pyramides triangulaires adossées l'une contre l'autre par leurs bases supposées égales; trouver la valeur de la diagonale, c'est-à-dire de la ligne droite qui joindrait les sommets opposés des deux pyramides , en supposant qu'on connaisse les neuf côtés de ce solide.
Il est visible que si l'on imagine que le point P soit le sommet de la seconde pyramide, dont la base soit le même triangle MM'M" qui sert de base à la première pyramide, on aura /pour le carré de la diagonale cherchée, et a, a', a", c, c', c", g, g', g" pour les carrés des neuf cotés donnés des deux pyramides; ainsi il n'y aura qu'à mettre dans l'équation du numéro précédent à la place de k, k', k" leurs valeurs, et l'on aura
4A'/= a{a +/- gY+ a' (a' +/- g' f+a"{a"+f- g" ?
+ 2(3" («+/- g)(a' +/- g') + ap'(a+ /- g) (a" +/- g") + 2(3(«'-t-/-g-')(«"-f-/-g-'/).
Cette équation étant ordonnée par rapport à /montera au second degré et aura par conséquent deux racines qui seront nécessairement toutes deux réelles; en effet il est visible que le Problème admet deux solutions, parce que l'on peut concevoir que les deux pyramides qui ont leur base commune soient, ou des deux côtés opposés de cette base, ou bien du même côté; la plus grande des deux valeurs de /appartiendra au premier cas, et la moindre au second.
21. Supposons maintenant que le point P soit pris en sorte qu'il soit
également distant des quatre angles L, M, M', M" de la pyramide du n° 9; il est clair que ce point deviendra le centre de la sphère qui serait circonscrite à cette pyramide. On aura donc dans ce cas
j. __ .g. g. __ g, ; et l'équation du numéro précédent deviendra
4 A-f = a.d- -+- a! a!'1 -i- oc" a"2 + a((3"«a' + (3'««"-t- fia' a"),
d'où l'on tire
„ a ci* -+- a! ci ■ -+- «"«"' -i- 2 ( (3"tf a' + (3'« «" -+- (3 a' ai' )
et cette quantité /sera le carré du rayon de la sphère circonscrite à la pyramide.
Quant à la position du centre de cette sphère, elle sera déterminée par les coordonnées/?, g, r, lesquelles, à cause de
li — —5 le = — i k = — i
auront les valeurs suivantes (18)
ai -t- a'Ë'-f- a" ?" P =
a'C-h i '= — iA
ou bien en substituant pour £,, '£', S,", ■/],... leurs valeurs en x, x ',... (8),
(atx-\- a' [3" -4- a" fi')x -+- («(3" H- a' ex' -h a"fi)x'-+- ( a (3' -+- a' (3 -4- a"a")x"
aÇ
(aa-h ci (3" 4- a" (3' ) j -4-
( « (3". -\- ci a! -h ce" (3 ) 7"' -4- ( a (3' -4- a' |3 -+- «"a" ) ,y"
( aa. -+- a! (3" -4- a" (3' ) z -4-
«(3" H- ci oi -\- a" fi) z' -4- («(3' 4- a' (3 -+• «"a") z"
22. Considérons encore le même point P déterminé par les coordon-
nées/?, q, r du n° 18, sans supposer que ce point soit le centre de la sphère circonscrite, et voyons comment on peut déterminer la distance de ce point à la base MM'M" de la pyramide, c'est-à-dire la ligne perpendiculaire menée du même point sur le plan de cette base.
Pour cela on suivra une méthode analogue à celle du n° 14, en remarquant seulement que la distance du point P au point quelconque N du plan MM'M" sera exprimée par
s/{s - pf -+- (t - q f + (u - r)2 ,
de sorte qu'on aura, en égalant la différentielle de cette quantité à zéro, l'équation
(s — p)ds ■+- (t — q )'dt -+■ ( u — /• ) du = o,
laquelle, en substituant pour du sa valeur mds-hndt (numéro cité) et faisant séparément égaux à zéro les coefficients de ds et de dt, donnera ces deux-ci
* — p -+- m(u — r) = o, t — q -+- n ( u — ;') = o; d'où
* =j? 4- mr — mu, t —. q -+- nr — nu,
ce qui étant substitué clans l'équation
m = / -+- ms -+- nt,
et de là
donc
u = l + mp -+- m2r — mïu-v- nq -t- n2r — n2u,
l + mp -h nq -+- (m2 4- n2) r
l -+- mp ■+- nq — r i -+- m2 -r- n2
mais en substituant, dans la quantité
v/(* — py-h{t— qf + {u-rf, pour s— p et t — q, leurs valeurs ci-dessus — m(u — r), — n{u — r),
elle devient
et mettant encore pour u — r la valeur qu'on vient de trouver, elle se changera en celle-ci
/ 4- mp -+- nq — r
Subslituant enfin à la place des cjuantités /, m, n leurs valeurs du n° 13, on aura la quantité
ou bien, par les formules du n° I ,
qui sera donc la valeur de la perpendiculaire menée du point P sur la base MM'M" de la pyramide.
23. On peut déduire de cette même formule la valeur des trois autres perpendiculaires qu'on pourrait mener du même point P sur les trois faces latérales MLM', MLM", M'LM" de la pyramide. Pour cela il suffit de considérer qu'en faisant coïncider successivement les points M", M', M avec le point L, le triangle MM'M" prendra successivement la place des triangles MLM', MLM", M'LM"; or il est clair que cela n'exige autre chose que de faire évanouir les coordonnées x", y", z", ou x , y', :■', ou x, y, z; ainsi il n'y aura qu'à faire pour le premier cas 5, §', -t], 0 ', 'Ç, 'Ç nulles et par conséquent aussi «, oc', |3, j3', fi" et A égales à zéro, pour le second cas 5, ç", ri, ri", 'Ç, 'Ç" nulles et par conséquent et, a", fi, fi', fi" et A égales à zéro, pour le troisième cas £,', H", ri', ri", Ç, Ç" et par conséquent a , a", fi, fi', fi" et A égales à zéro (1 et 4); mais il faut observer que tandis que le triangle MM'M" prend la place des triangles MLM', MLM", M'LM", le point P supposé au dedans de la pyramide traverse le plan de ce triangle et passe de l'autre côté de ce plan, ce qui doit faire
changer de signe à l'expression de la perpendiculaire menée du point P sur ce même plan; donc les trois perpendiculaires menées de ce point P sur les trois faces latérales MLJM', MLM", M'LM" seront exprimées par les
quantités suivantes
l"p-hv"q-ï-'Ç'r
lp
+ riq
+ Zr
fa
24. Désignons par zs la perpendiculaire menée du point P, dont les coordonnées sont p, q, r, sur la base MM' M" de la pyramide, et par p, p', p" les perpendiculaires menées du même point P sur les faces latérales M'LM", MLM", MLM'; on aura par les deux numéros précédents les équations
\p-\- nq +K,r
ru P ' y/a
lesquelles donnent d'abord celle-ci
A = vs v a -+- a' -+- a" -4- 2 (3 -+- 2 13' 4- 2 13" + p y/ a -4- p' y/a' -4- p" y/a" ,
qu'on aurait pu trouver immédiatement par cette considération que, si du point P on mène aux quatre coins L, M, M', M" de la pyramide des droites, elles formeront quatre nouvelles pyramides, ayant toutes leurs sommets au point P, et ayant pour bases les quatre faces de la pyramide donnée, en sorte que celle-ci se trouvera par là partagée en quatre autres pyramides; et par conséquent sa solidité sera égale à la somme des solidités des pyramides partielles qui la composent. Or les aires des faces de la III. 86
pyramide donnée sont (12)
sja sj a! sja" sja H- a! -+- a." -+- 2 (3 -+- 2 13' -
donc, multipliant ces aires par le tiers des perpendiculaires p, p', p" et ro, abaissées du point P sur ces mêmes faces, on aura les quantités
p \/a p' V^7 p" \/«" to y/a + a' + a" + 2 (3 + 2 (5' -(- 2 (3" ~6~' — 6~ ' ""g-' — 6
qui exprimeront les solidités des quatre pyramides partielles qui ont le point P pour sommet commun et les triangles M'LM", MLM", MLM', MM'M pour bases; mais la somme de ces solidités doit être égale à la
solidité totale de la pyramide donnée, laquelle étant exprimée (14)
par -g-j on aura par conséquent 1 équation ci-dessus; ce qui pourrait
servir, s'il était nécessaire, à prouver la bonté de nos calculs.
25. Si les trois perpendiculaires p, p', p" étaient supposées données et qu'on voulût connaître la position du point P d'où elles sont menées, il n'y aurait qu'à tirer les valeurs des coordonnées p, q, r de ces trois équations
tp + nq -+- K,r = P sjoc, i'p -+- -n'q -\- '£,'>'— pVa'> i"p H- W'q -+- 'C"r—p" sja!',
et l'on trouvera pour p, q, r des expressions analogues à celles du n° 18 en y changeant k, k', k" en p s/oc, p' s/a', p" sja." et x, y, z, x , y',... en £, vj, Ç, %, ï}' ',..., ce qui change ces dernières en X, Y, Z, X', Y',... (1 et 2), c'est-à-dire en Ax, Ay, Az, Ax', Ay' ,... (3), et la quantité A en A2 (5). De sorte qu'on aura
p \ju.x + p' y/a' x' -f- p" \Ja." x"
p y/oc y + p' sja' f + p" s/a" y" q- — £— ,
p sja z -+■ p' sja1 z' H- p" s/a" z"
26. Par là on pourra connaître si l'on veut les distances de ce même point P aux angles L, M, M', M" de la pyramide donnée; car conservant les mêmes dénominations du n° 18, on aura par la substitution des valeurs précédentes de/?, q, r, et d'après les formules du n° 1,
,. ap- a. 4- a' p'2a,' 4 a" p"2a" -i- i b" pp' \ja.a! 4- 26'pp" Jaa!' -4- ibp'p" sja'a."
, «p \ja H- b"p' ijtx' 4- b'p" \ja."
. , b"p \Ja 4- a'p' \J a.' 4- bp" \Ja."
. „ b'p Ja. -\- bp' \Ja' 4- a"p" sja."
27. Réciproquement, si ces distances étant données on voulait connaître les perpendiculaires p, p', p", il n'y aurait qu'à les tirer, par l'élimination, des trois dernières équations ci-dessus; et pour cela on remarquera que, si dans les trois équations du n° 18 on change p, q, r en
p Ja. p' Ja! p" Ja" 1 1 1 11 11 11 1 11 1 , 1 ,1 t r
—— •> v-\ — ■> r—\ — ■> etx,y,z,x,y,z,x, y", z en a, b , b , b , a , b, b', b, a", elles deviennent les précédentes; d'où il s'ensuit qu'on aura pour
p Ja p' Ja' p" Ja." 1 - • , < ' 1 1
!L4~5 * ; ! — ^r— les mêmes expressions qu on a trouvées dans le numéro cité pour/», q, r, en y échangeant seulement x, y, s, x' ',... en a, b", b', b",.... Or par ces échanges les quantités H, S', £", ïj, V, r/', 'Ç, 'Ç,
684 SOLUTIONS ANALYTIQUES DE QUELQUES PROBLÈMES Ç" deviennent (1) u, |3", |3', |3", a! , /3, |S', jS, a", et la quantité
A = xy'z" -\-y z' x" -\- . . .
devient
aa'a" + ib b'b" — ab2 — a'6'2 — a"6"2 = A2;
c'est pourquoi on aura, après avoir multiplié par A, - g^ + p^+P'*"
' , fZ7'
28. Les formules qu'on vient de trouver dans les numéros précédents peuvent servir à résoudre avec beaucoup de facilité le Problème, où ils'agirait de trouver dans l'intérieur d'une pyramide donnée un point tel, que menant de ce point aux quatre angles de la pyramide des lignes droites qui la partageassent en quatre autres pyramides ayant ce point pour sommet et les faces de la pyramide donnée pour bases, ces pyramides partielles fussent entre elles dans des rapports donnés.
Soient les rapports de ces quatre pyramides partielles à la pyramide totale donnée exprimés par les quantités p., p.', u" et v, en sorte que l'on
ait
[j. -+- [j.1 -+- fj." -+- v = i ;
donc, par ce que l'on a dit dans le n° 24-, on aura
p \l<x = p.A, p' \ja' = a'A, p" \Ja" = y." A,
■m \ja. -+- al -+- a" -f- 2 (3 + 2 13' + 2 (3" = v A ;
donc, substituant ces valeurs dans les expressions des quantités p, q, r du n° 25, on aura sur-le-champ, pour la détermination du point cherché, ces trois coordonnées rectangles
q = py-+-p'r' + p"Jr">
Et si l'on veut déterminer ce point par ses distances sjf, sjg, \/g', \/g" au sommet et aux trois angles de la base de la pyramide donnée, on aura, par les formules du n° 26,
a + f— g la , L, 11 •- 2. = au. -+■ b'fjL'-h b'fj. ,
a' + f—g' i„ , , 1 „ ï e = b p. -+- fl p -+- Op",
