Si maintenant on suppose dans les formules du nu

5J=rp=p'=p",

il est clair que le point P deviendra le centre de la sphère inscrite à la pyramide, et que 7s en sera le rayon; ainsi l'équation de ce même numéro donnera sur-le-champ

y/co -+- y/a -+- y/a' -+- y/a"

en faisant, pour abréger,

Ensuite on aura (25) pour la détermination du centre de la sphère les coordonnées

jy/a-f-j'

\fâf +

y/co -4- y/a + y/a' -I- y/a"

El, si l'on veut déterminer ce point par les distances y//, s/g, s/g', \jg"

aux angles de la pyramide, on aura (26)

„ aoc -+- a! a! ■+• a" a" -+- 1 b" \ja.a! -+- 1 b' y/ a a." ■+■ a 6 y/a' a"

( y/co -t- y/a -+- y/a' -+- y/a")2

2 y/co -+- y/a -+- y/V -I- y/a"

y/co -I- y^a -+- y/a' -H y/a"

2 y/co -+- y/a -+- y/a' -t- y/a"

30. Dans toutes ces formules il faut prendre les radicaux yw, \jv, \ja! , si a." positifs, pour avoir véritablement le cas d'une sphère inscrite dans la pyramide; mais il est remarquable qu'en prenant l'un de ces mêmes radicaux négatif on aura le cas où la sphère tomberait hors de la pyramide, et toucherait en même temps une de ses faces en dehors, et les plans des trois autres faces prolongés; et en particulier la face touchée en dehors par la sphère sera celle dont l'aire sera représentée par la moitié du radical auquel on donnera le signe négatif (12). C'est de quoi on peut se convaincre en réfléchissant sur la nature de nos formules et de notre Analyse, sans qu'il soit nécessaire que nous entrions là-dessus dans aucun détail.

31 . Venons maintenant à la considération du centre de gravité de notre pyramide, et pour en trouver la position nous remarquerons que si l'on fait passer par un quelconque des côtés de la pyramide un plan qui coupe le côté opposé en deux également, le centre de gravité de la pyramide se trouvera nécessairement dans ce plan ; c'est ce qui se démontre facilement par les principes de Mécanique. Or comme trois plans différents ne peuvent se couper qu'en un seul point, il suffira donc de considérer trois des plans dont nous venons de parler et de chercher le point qui leur sera commun. Nous imaginerons pour cela qu'on mène par les trois côtés de la base de la pyramide trois plans qui coupent les côtés opposés des faces

latérales par le milieu; nous chercherons l'équation de chacun de ces plans et nous en déduirons ensuite aisément la position du point commun, qui sera par conséquent le centre de gravité cherché.

32. Considérons d'abord le plan qui passerait par le côté M' M" de la base et qui couperait par le milieu le côté LM qui va du sommet L à l'autre angle M de la base; et, nommant, comme dans le n° 13, s, t, u les coordonnées rectangles des points de ce plan, on aura une équation de la forme

U = \ ■+- [J.S -t- vt,

X, tj., v étant des constantes dépendantes de la position du plan.

Pour déterminer ces constantes on remarquera que, comme le plan est supposé passer par les points M', M" de la base de la pyramide, pour lesquels les coordonnées rectangles sont x ', y', z' , x", y", z" (9), on aura d'abord ces deux équations

z' = \ -f- \>.x' -t- vy', z" — 1 -+- [j.x" -4- vy" .

Ensuite, comme on veut que ce plan passe aussi par le milieu de la ligne LM menée du point L, qui est l'origine des coordonnées, au point M, pour lequel les coordonnées rectangles sont x, y, z, on considérera que ce point du milieu de la ligne LM sera nécessairement déterminé par les

coordonnées rectangles — » —■> -; de sorte qu'on aura cette troisième équation

- = Jt-

[j.x vy

ou bien, en multipliant par 2,

Z = 2.1 -h p X -h Vf.

Cette équation étant retranchée des deux précédentes multipliées par 2,

iz' — z = \1\1x' — x) + v ( 2 y' — y), iz" — z = \x{ix" — x ) -+- v(iy" — y),

«88 SOLUTIONS ANALYTIQUES DE QUELQUES PROBLEMES d'où l'on tire

__ (iz' — z){zy" — y)- (iz" — z){2y' — y) ^ "' {-2.x' — x ) [ ly" — y) — (2a?" — x)(iy' — y)

[iz' — z)(ix" — x) — {iz" — z) (ix' — x) (ix" — x)(iy' — y) — (2 a?' — x) [2 y" — y)

et développant les termes (1)

a 5 + S' + E" — 2yi + v' -*-'"" .

F'~ ~ il + ?'-+-£"' V~ aÇ + Ç'H-Ç"" Ensuite on aura (7)