V- ± au

a étant un nombre quelconque positif donné, et. t et u étant des nombres indéterminés premiers entre eux.

i° Considérons la formule

t2 ■+- au2, et la comparant à la formule générale du Problème I, on aura B = i, C = o, D = «;

donc K = l\a; donc Q devra être pair, et il ne devra pas être plus grand que ± \/\-'i ainsi, faisant Q = ± iq et regardant q comme positif, il faudra que q ne soit pas plus grand que y ' ^ ; ensuite on aura

DI 4« ■+- 4î2 , .

de sorte que si p et r dénotent deux facteurs de a -+- q'2, dont aucun ne soit moindre que 2q, on aura

pr2± ïijyz -I- rz-

pour la formule générale des diviseurs de £2 + au2.'

Il est bon de remarquer que comme pr = a -+- q2, il faudra que/? et r soient de même signe, et il est clair qu'il faudra les prendre positivement pour que la formule

pr2±iqrz -+- rz2

puisse représenter des nombres positifs.

De plus, comme cette formule ne change point de forme en y mettant/? à la place de r, il ne sera pas nécessaire de prendre successivement pour p chacun des facteurs de a -+-q-, et pour/- tous les facteurs correspondants; c'est pourquoi dans chaque couple de facteurs de a-hqil suffira de prendre toujours le plus petit pour/?, et le plus grand pour r; et c'est ainsi que nous en userons dans la suite.