Corollaire. — Si l'on multiplie la formule
pri±2qyz + rz2 par/?, elle pourra se mettre sous cette forme
{pydzqzf-h [pr— (p) z2, c'est-à-dire (à cause de pr = a + q2) sous celle-ci
(py±qz)2 -\- az%,
qui est la même que celle de la formule t2^-au'2. D'où il s'ensuit que tout diviseur d'un nombre de la forme t2 -+- au2 sera aussi nécessairement de la même forme si p n'a d'autres valeurs que l'unité, ou le deviendra étant multiplié par une des valeurs de p s'il y en a plusieurs. On prouvera de même que les formules
py- ± i.qyz — rz', — py2 ± iqyz -t- rz2
étant multipliées par p deviendront, à cause de pr = a — q2,
{py ±qzf — az', — {py ± qz f + az2.
De sorte que tout diviseur d'un nombre de la forme t- — au1 ou au2 — t2 sera nécessairement de l'une ou de l'autre de ces deux formes si p n'est que l'unité, ou bien le deviendra toujours étant multiplié par une des valeurs de p s'il y en a plus d'une.
THÉORÈMES SUR LES DIVISEURS DES NOMBRES DE LA FORME t' -+- au2 , t ET U ÉTANT SUPPOSÉS PREMIERS ENTRE EUX.
18. I. Soit a = i, donc q non plus grand que \/ôï clone q = o, pr = i:
donc
Donc les diviseurs des nombres de la forme
sont nécessairement renfermés dans la formule
c'est-à-dire que: Tout diviseur d'un nombre égal à la somme de deux carrés est aussi la somme de deux carrés.
II. Soit a — i, donc q non plus grand que l/â'i donc q — o, pr = 2,
donc
Donc les diviseurs des nombres de la forme t- + 1 u2 sont renfermés dans la formule
c'est-à-dire que : Tout diviseur d'un nombre égala la somme d'un carré et d'un double carré est aussi la somme d'un carré et d'un double carré.
III. Soit a = 3, donc q non plus grand cjue i/± — I; c]0nc q — o ou = i . Faisant q = o, on aura pr= 3, donc p = i, r = 3; ensuite faisant q = i , on aura
£>/■= 3 -t- i = 4; donc, comme ni p ni r ne doivent être < zq, on aura
Donc les diviseurs des nombres de la forme
t2 -h 3 M2 seront renfermés dans ces deux formules
y''-h3z-, iy2 ± iyz -4- 2Z!.
Or comme la seconde de ces formules ne peut appartenir qu'à des nombres pairs, étant toute divisible par 2, il s'ensuit que tout diviseur impair de
sera nécessairement renfermé dans la formule
c'est-à-dire que : Tout diviseur impair d'un nombre qui est la somme d'un
carré et d'un triple carré premiers entre eux, est aussi la somme d'un carré et d'un triple carré.
Au reste, comme il suffit de considérer les diviseurs impairs, nous ferons toujours abstraction, dans la suite, des formules qui ne pourraient convenir qu'à des diviseurs pairs; c'est pourquoi nous rejetterons toutes les valeurs de p et r qui seraient paires à la fois.
IV. Soit a = 4, donc q non plus grand que i/t; donc q = o ou = 1 . Faisant q = o, on a pr = 4; donc
(car nous rejetons les valeurs p= 2, r= 2, parce qu'elles sont toutes deux paires) ; faisant q = 1 , on a pr = 5 ; donc
ce qui doit être rejeté à cause que p serait < 2</. Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme
seront aussi de la forme
V. Soit a = 5, donc ^ non plus grand que l/Vi donc y — o ou =1. Faisant q = o, on a pr= 5, donc
et faisant y = 1 , on a pr = 6, donc
Donc les diviseurs des nombres de la forme
sont nécessairement de l'une ou de l'autre de ces formes-ci
y2 -+- 5 z-, i.y- ± 1 yz -+- 3 z- ;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles sont toujours (17) de la forme t2 -+- 5«2.
VI. Soit a = 6, donc q non plus grand que i/ti donc q = o ou = î . Faisant q — o, on aura pr = 6; donc
p = i, r = 6, ou p = 2, r=3;
faisant ^ = i , on aura pr = j, donc
ce qui doit être rejeté parce que p serait < zq. Donc les diviseurs des nombres de la forme
seront de l'une ou de l'autre de ces formes
y'2-i-6z2, if2 + 3 a2 ;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront de la même forme t2 -\- 6u2.
Vil. Soit a = 7, donc ^ non plus grand que \/i'i donc ^ = o ou = i . Faisant q = o, on aura pr = rj; donc
faisant q = 1, on aura pr = 8; donc
ce qui ne peut convenir qu'aux diviseurs pairs.
Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme
sont nécessairement aussi de la forme
VIII. Soit a = 8, donc q non plus grand que \J ~ -, donc y = oou=i. Faisant q = o, on aura pr=8; donc
et l'on rejettera les valeurs p = 2, r = 4 comme ne pouvant appartenir qu'à des diviseurs pairs; faisant ensuite q = i , on aura pr= g; donc
Donc les diviseurs des nombres de la forme
sont de l'une ou de l'autre de ces formes
j2 + 8z2, 3j2± 2jz + 3.3!;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes, ou leurs triples, seront toujours de la même forme
IX. Soit a = 9, donc q non plus grand que yl; donc y = oou=i. Faisant q = o, on aura pr = g; donc
p = t, r = 9, ou /> = 3, r=3; faisant q = 1, on aura p/'= 10; donc
Donc les diviseurs des nombres de la forme
sont nécessairement de l'une de ces trois formes
j^ + 9Z2, 3j)-'2+3z2, ny- ±iy*z -\- 5z2;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes, ou leurs doubles ou. leurs triples, pourront toujours se rapporter à la même forme t2 + gu2.
X. Soit a = 10, donc q non plus grand que y -*\ donc q=.o ou = i . Faisant q = o, on aura pr = 10; donc
p = i, r = io, ou p = 2, r = 5;
faisant </ = i , on aura /?r = 1 1 ; donc
ce qui n'est point admissible à cause que p serait < 2</. Donc les diviseurs des nombres de la forme
sont toujours de l'une de ces formes
y2-V-ioz2, a. y2 -h 5 z2 ;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs doubles seront nécessairement de la même forme
t2 H- \OU2.
XI. Soit a = 1 1 , donc q non plus grand que l/-y-i donc # = o ou = i . Faisant q = o, on a jor = r i ; donc
faisant y = i , on a jw = 12 ; donc
car les valeurs /> = 2 et r- = 6 sont à rejeter à cause qu'elles ne conviendraient qu'aux diviseurs pairs.
Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme
t2 -j- 1 1 a' sont de l'une ou de l'autre de ces formes.
y -+■ 1 1 s:, 3j--' dr a j'Z 4- 4*2 >
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront toujours de
la même forme
XII. Soit a = 12, donc q non plus grand que V/V = 2; donc q = o ou = 1 ou = 2. Faisant q = o, on aura pr = 12; donc
p=i, r=2, ou /» = 3, r=4>
en reje.tant les valeurs /j = 2, r= 2, qui ne conviendraient qu'aux diviseurs pairs; faisant q = 1, on aura pr = i3; donc
ce qui doit être rejeté à cause que /j serait < 2q\ faisant q= 2, on aura />/• = 12 -+- 4 = 16 ; donc
(car, à causé de ^ = 2, /j ne doit pas être < 4). ce qui doit être rejeté si l'on ne considère que les diviseurs impairs.
Donc les diviseurs impairs des nombres de la formule
sont de l'une ou de l'autre de ces formes
y--\-\zz\ $y- H- 4-s2;
de sorte que ces diviseurs eux-mêmes ou leurs triples seront de la même forme
P -+- illû.
Nous n'étendrons pas ces recherches plus loin, d'autant que les Exemples que nous venons de donner sont plus que suffisants pour montrer l'application de nos méthodes et pour mettre sur la voie ceux qui voudront en faire usage pour découvrir de nouveaux Théorèmes sur la forme des diviseurs des nombres t- + air.
