III

19. Remarque. — Les trois premiers Théorèmes sont connus depuis longtemps des Géomètres, et sont dus, je crois, à M. Fermât; mais M. Euler est le premier qui les ait démontrés. On peut voir les démonstrations de ce dernier dans les tomes IV, VI et VIII des Nouveaux Commentaires de Pëtersbourg. Sa méthode est totalement différente de la nôtre, et elle n'est d'ailleurs applicable qu'aux cas où le nombre a ne surpasse pas 3; c'est ce qui a peut-être empêché ce grand Géomètre de pousser plus loin ses recherches sur ce sujet.

A l'égard des Théorèmes qu'il avait déjà donnés auparavant sans démonstration dans le tome XIV des anciens Commentaires, il est vraisemblable qu'il ne les a trouvés que par induction, d'autant qu'il n'en a fait aucune mention dans les tomes cités des Nouveaux Commentaires, où il a même remarqué que ses démonstrations ne pouvaient s'étendre à d'autres nombres qu'à ceux de la forme t'2 -h ir, t- + 2112 et t"- -+- 3«? (tome VI, page 21 4)-

THÉORÈMES SUR LES DIVISEURS DES NOMBRES DE LA FORME t~ — UU2 OU air — t'2, t ET U ÉTANT SUPPOSÉS PREMIERS ENTRE EUX.

20. I. Soit a=\ , donc q non plus-grand que l/^',.donc q = 0, pr = 1;

donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

sont de la forme

par conséquent (14) tout nombre est réductible à cette forme

c'est ce qu'on sait d'ailleurs.

II. Soit a ~ 2, donc q non plus grand que y -p'-, donc q = o, pr = 2 ;

donc

de sorte que les formes des diviseurs de

t2 — 3 IÛ OU 2 II- — t2

seront

y2 — ?.z2 ou 2Z! — y2;

mais je remarque que ces deux formes reviennent à la même; car faisant

r = /'-f-2J5', Z=f'-hz'

(ce qui donne y' = iz—y et z' = j — z, et par conséquent des valeurs entières pour y' et z'), la formule y2 — 2z2 devient 2z'2 — j'2. Donc les diviseurs des nombres de la forme

t2 — 2 II2 OU 2U2 — t2

sont nécessairement de l'une et de l'autre de ces formes

y2 — 2Z2, iz2 — y2.

III. Soit a— 3, donc ^ non plus grand que \f -p\ donc </ = o, pr = 3;

donc

Donc les diviseurs des nombres de la forme

ï2— 3«2 ou 3*<2 — /2

sont de l'une ou de l'autre de ces deux formes

IV. Soit a= 4, donc y non plus grand que \/|i donc </ = o, pr = 4 ;

donc

p = i , c=4> ou p = i, r=2.

Donc les diviseurs des nombres de la forme

seront nécessairement renfermés dans les formules

par conséquent (14) tout nombre quelconque sera de l'une de ces formes. Au reste, nous pouvons faire abstraction des formes qui ne sauraient convenir qu'à des diviseurs pairs, telles que celle-ci 2y- — 2s2; ainsi nous rejetterons dans la suite, comme nous l'avons déjà fait plus haut, les valeurs dep et de r qui se trouveront paires en même temps.

V. Soit a = 5, donc q non plus grand que \/ë= lî donc q = o ou = 1. Faisant q = 0, on a pi' = 5 ; donc

faisant q = 1, on aurait pr = 4; de sorte qu'à cause que p et r doivent n'être pas < iq, on ne pourrait faire que

mais nous rejetterons ces valeurs à cause qu'elles sont toutes deux paires; ainsi l'on n'aura que ces deux formes de diviseurs

y"1 — 5z- et 5z2 — y2,

lesquelles se réduisent d'ailleurs à la même, comme on peut s"' en convaincre en faisant

y=zy'-\-5z' et z=y'-i-2z'

(ce qui donnerait z' —y — iz et y' — 5z — iy, et par conséquent des valeurs entières pour y' et z') dans la formule j2— 5=2, laquelle deviendra par ces substitutions celle-ci, 5s'2 — y'~.

Donc les diviseurs impairs des nombres de la forme

t- — 5u2 ou 5u2 — t2

sont en même temps de chacune de ces deux formes

VI. Soit a = 6, donc q non plus grand que \/-f\ donc y = o ou = i. Faisant q = o, on aura pr = 6; donc

p = i, r = 6, ou /> = 2, /-=:3;

taisant ensuite </ = i , on aura pr — 5, ce qui ne donnerait que

valeurs qui ne sont point admissibles à cause que p serait <2</; de sorte que les formules des diviseurs des nombres de la forme

t- — 6 u- ou 6 u- — t% seront

y2 — dz2, 6z2 — y2, iy2 — 3z', "iz2 — zy2.

Mais j'observe que ces dernières se réduisent aux deux premières en faisant