y'2 — 5z'2, 5z'2 — iy
en faisant
ou
zhy = y' -h 2Z' , z=y'-\-z',
ce qui donne toujours pour y' et s' des nombres entiers; je remarque ensuite que les deux formules
y2 — ioz2, ioz! — y2
peuvent aussi se réduire à la même en faisant dans la première
y = ioz' -)- 3y', z = 3z'-i-y',
ce qui la transformera en ioz'- — y'-; et quant aux nombres y' et s' il est clair qu'ils seront toujours entiers, puisque l'on aura
z' = y — 3z, y' = ioz — 3y.
De là je conclus que les diviseurs des nombres de la forme
i2 — 10 M2 ou 10 iû — t2
seront toujours de l'une ou de l'autre de ces deux formes
y2 — ioz2, iy2 — 5z2, aussi bien que de celles-ci
ioz2 — y2, 5z2 — zy2.
XI. Soit « = 11, donc y non plus grand que y-g-'i doncy = o ouq = i. Faisant q = o, on aura pr = 1 1 ; donc
/) = i, r = 1 1 ; faisant y = r , on a /v = 10; donc
De sorte que les formules des diviseurs seront, dans ce cas,
y2 — ii z2, uz- — y2, 2 r2 rt 2 j"Z — 5 z2, 5 z2 dz 'lyz — zy2.
Mais je remarque que ces deux dernières formules peuvent se réduire aux deux premières; car en faisant
(ce qui donne s' = ± j — s et y' = 4= =F 3j, et par conséquent toujours des nombres entiers pour y' et z'), la formule
2 y2 zt 2J\Z — 5z2
devient
et la formule
5z2 rp 2^ — 2^2
devient de même
D'où il s'ensuit que les diviseurs des nombres de la forme l2 — ri u2, mû — Vsont toujours de l'une ou de l'autre de ces formes
y7 — iiz2, ii z2 — y2.
XII. Soit a= 12, donc y non plus grand que \I -r'i donc q = o ou = i, Faisant q = o, on aura /or = 12 ; donc
p = j, r=i2, ou /> = 3, /'=4>
en rejetant les valeurs paires p = 2 et r — 6; faisant ensuite q = 1, on
aurait pr = 1 1; donc
valeurs qui ne sont point admissibles à cause que p serait < iq; ainsi l'on n'aura que ces formules
y* — i2z2, iaz! — /-, 3j--2 — 4z2> 4-s2 — 3j2,
sur lesquelles je remarque que les deux dernières sont réductibles aux deux premières, en faisant
y=^y'-hz' et z—.Zy'-^rz',
ce qui donne y' = y — z et z' = l\z — 3y, et par conséquent des valeurs entières pour y' et z'.
D'où l'on peut conclure que lés diviseurs impairs des nombres de la forme
t'1 — 12 M2 OU I2i{2 — V-,
seront toujours de l'une ou de l'autre de ces deux formes
j2 — 11 z-, 12 s2 — y-, aussi bien que de ces deux-ci
21 . Remarque. — Telle est la méthode qu'il faudra suivre pour trouver les formules des diviseurs des nombres de la forme
