Etant donnée la formule

dans laquelle y et z sont des nombres indéterminés et p, q, r sont des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

{a étant un nombre positif donné) et que iq ne soit ni > p ni^>r, abstraction faite des signes de p, q et r; trouver si cette formule peut se transformer en une autre de la même espèce et qui soit assujettie aux mêmes conditions .

Comme la transformée doit être analogue à la proposée, il est visible qu'on ne saurait employer d'autres substitutions que celles-ci

y = Mi 4- N.r, z z= ms -+- nx,

s et x étant deux nouvelles indéterminées, et M, N, m, n des nombres

arbitraires. En effet ces substitutions donneront une transformée de

cette forme

Ps- -+- zQs.v -t- Rj:,

dans laquelle on aura

P = pM- -i- zqMm -f- rm2,

Q = pMN -+■ q(Mn -+- Ni») + rmn,

R =^N'-4- 2^N/i + rit-,

et il ne s'agira que de voir si l'on peut déterminer les nombres M, N, m,

n, en sorte que l'on ait

et que 2Q ne soit ni > P ni > R.

Pour satisfaire à la première condition je substitue clans la quantité PR — Q2 les valeurs de P, Q, R, et je trouve, en effaçant ce qui se détruit,

PU — Q*=(pr— ?!)(Mn-Nm)!;

mais (hypothèse)

pr — q2 = a,

donc, pour que PR — Q2 soit aussi égal à a, il faudra que l'on ait

et par conséquent

Mn— Nm= rfc i.

A l'égard de la seconde condition, il est clair qu'elle ne saurait avoir lieu à moins que Q ne soit en même temps < P et < R; ainsi nous supposerons que Q soit en effet ■< P et <R, et nous allons voir ce qui doit s'ensuivre.

Soit M>N (le raisonnement serait le même si N était >M, en prenant seulement N à la place de M), il est clair qu'on peut faire

et qu'on peut prendre \x tel que M' devienne moindre que N; car il n'y a qu'à prendre pour [x le quotient de la division de M par N, et M' sera le reste; de plus il est facile de voir qu'on peut toujours supposer que y. ne soit pas moindre que 2; car si l'on trouvait jx = i, en sorte que M =N + M',

on pourrait faire

M = aN — (N — M'),

c'est-à-dire prendre \j. = 2 et N — M' à la place de M'. Or si l'on suppose

aussi, ce qui est permis,

m' étant un nombre quelconque, et qu'on substitue ces valeurs de M et

de m dans l'expression de Q, elle deviendra

Q = p.(/?Ns + 2çN« + m2) +/)M'N+ q(M'n +Nm') -1- rm'n,

de sorte qu'en faisant, pour abréger,

Q' = pW N -+- q ( M'n + N m' ) + /■ m'n, on aura

Or il faut que Q soit <R; donc, puisque p. est = ou > 2, il est clair que cette condition ne saurait avoir lieu à moins que les deux quantités p.R et Q' ne soient de signes différents et que Q' ne soit en même temps >R, abstraction faite des signes.

Maintenant on aura

y = ( (nN -+- M' ) s -h N x, z = (pn -+- m' ) s -f- nx ;

de sorte que si l'on fait