X1 == [AS ■+- X

on aura

et la substitution de ces valeurs dans la formule

py'1 + 2<7/z + rz'

donnera la nouvelle transformée

P's- 4- iQ'sx' + Rx-,

en supposant

P' z=pW*+ iqWm' -f- rm",

Q' = ^M'î,J ■+ </(M'/i -4- N/»') -+- rm'n,

-et

comme plus haut.

Or à cause de

on aura

;p.N 4- M')n — N(un -l- m') = ±1,

et par conséquent

M'n — Nm' = ±i,

On trouvera aussi

P' R — Q" = ( pr — (f- ) ( M'« — N m' )\

et par conséquent

De sorte que, comme a est positif et que Q' est >R, il faudra que P' soit >Q'; ainsi la transformée précédente sera telle; que Q' sera >R et <F.

De la même manière, à cause que N est > M', on pourra supposer

et prendre \>! en sorte qu'il ne soit pas < 2 et que N' soit <-M'; et faisant ensuite

en sorte que l'on ait

on parviendra, par des opérations et des raisonnements semblables aux précédents, à cette nouvelle transformée

PV- + ■y.Q's'x' + Wx'2, dans laquelle on aura

P' =/?M'2-i- zqM'm' -+- rm'\

Q"=/>M'N'-i- </(MV-f- N'»?'') + rm'n', R' =/>N'- + zqWn' -t- /«'-,

et où l'on aura aussi

MV-N'm'=±i,

en sorte que Q" sera > P' et <R', abstraction faite des signes de P', R' et Q".

On pourra trouver de même une troisième transformée telle que

laquelle sera soumise aux mêmes conditions que les transformées précédentes, et ainsi de suite.

Je considère maintenant que comme les nombres

forment (abstraction faite de leurs signes) une suite décroissante, on arrivera nécessairement à un terme qui sera égal à zéro. Supposons que N' soit ce terme, en sorte que l'on ait N' = o; donc à cause de

on aura

fB' = ±i;

M' = ± i et «''= ±'r.

donc donc

P' =p rh iqm! -¥- rm'1, Q"=dzq±rm', R' = r,

les signes ambigus étant arbitraires.

Or il faut :

i° Que l'on ait Q'<R', abstraction faite des signes de ces nombres; mais R' = 7' et q<^r, à cause de iq non plus grand que r (hypothèse), donc Q" ne pourra être < R', < r à moins que m ne soit égal à zéro ou égal à ± i.

20 Que Q" soit en même temps > P'; or si m' = o, on a

de sorte qu'à cause de i q non plus grand que p (hypothèse), Q" sera toujours < P' au lieu d'être plus grand; si m' = ± i, on aura

P'=/>± ?.q -+- r et Q"= q±r;

mais on suppose que Q" soit < r; donc, pour que Q" soit > P', il faudrait que r pût être >jP± zq-\- r, ce qui ne se peut à cause que 2 q n'est jamais >/?, et que d'ailleurs p et r doivent être de mêmes signes en vertu de l'équation

pr — q> = un nombre positif.

De là je conclus qu'il est impossible que la formule proposée soit transformée en une autre où les conditions énoncées aient lieu; de sorte que si l'on a plusieurs formules où les mêmes conditions soient observées, on peut être assuré que ces formules sont essentiellement différentes entre elles, et qu'elles ne peuvent pas se réduire à un plus petit nombre.

Problème IV.