Étant donnée la formule

py1 -+- 2 qyz — rz\

dans laquelle y et z sont des nombres indéterminés, et p, q, r des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

pr -+- q2 = a

la étant un nombre positif donné ) et que 2q ne soit ni ^>p ni ]>/", abstraction faite des signes de p, q et r ; trouver si cette formule peut se transformer en une autre semblable, et où les mêmes conditions soient observées.

Faisant, comme dans le Problème précédent et par la même raison,

y = Ms -+- N x, z = ms -+- nx,

on aura la transformée

P*2 -4- zQsx — Rx2,

dans laquelle

P = p M2 -+- 2 q Mm — ;■ m-,

Q=/>MN +f(M» + Nffl:- rmn,

R = rri1 — iqHn — />N2;

ainsi la difficulté consiste à déterminer, s'il est possible, les nombres M, N, m, ra, en sorte qu'on ait

et qu'en même temps ni P ni R ne soient < 2Q, abstraction faite des signes de P, Q et R.

Je remarque d'abord que la quantité PR + Q2 devient, en mettant à la place de P, Q et R leurs valeurs,

{pr-h qr) (Mm — N/»)2= a {Un — Nm)2;

donc il faudra qu'on ait comme dans le Problème précédent

(Mn-Nm)'= 1,

et par conséquent

Mra — Nm =± 1.

Comme M, N, m, ra sont supposés des nombres entiers, il est clair que cette équation ne saurait subsister à moins que les produits Mra et N/ra ne soient de mêmes signes; de sorte que si M et N sont de mêmes signes, il faudra que m et ra en soient aussi.

Or, puisqu'on peut donner aux nombres indéterminés s et x tels signes que l'on veut, il est évident qu'on peut, sans nuire à la généralité du Problème, prendre toujours les nombres M et N positifs; et alors il faudra prendre les nombres m et ra de mêmes signes, c'est-à-dire tous les deux positifs ou tous les deux négatifs; ainsi il n'y aura qu'à mettre ±m et ± ra à la place de m et ra, ou, ce qui revient, au même, il n'y aura qu'à donner le signe ambigu ± à la quantité q, c'est-à-dire prendre la valeur de cette quantité en plus et en moins; moyennant quoi on pourra regarder les quatre nombres M, N, m, n comme positifs.

Maintenant il est clair que si 2Q n'est ni > P ni > R, comme on le suppose, Q2 sera toujours moindre que PR, de sorte que PR + Q2 ne pourra être égal à un nombre positif, à moins que PR ne soit un nombre positif; d'où il s'ensuit qu'il faut nécessairement que P et R soient de même signe; et cette condition suffit, comme nous Talions voir, pour faire trouver les nombres M, N, /ra, ra.