Rp^+î-r ■+- -J- B, g-p

r ir-

+ LCpP^-^2P + 9-rc 2r+ (3p-r)(3p-z

-4- - D p/'-"?-'' 4- 2/? + 3g~r D, Pv+*i-" r r 2r! r

(3p4n — r)(3p4fl — 2/-)^

| 5 1 i M f H 1 J) pip+g-ir

qp-r)Up-zr)Up-!ir)

23. Les formules que nous venons de trouver dans les deux derniers Exemples doivent être bien remarquées, tant à cause de leur généralité que parce qu'elles peuvent être très-utiles dans la recherche des différentes racines des équations; ce qui fera l'objet du § III.

Mais, avant d'y passer, nous croyons devoir encore faire une observation touchant les coefficients A, B, B,,...; c'est que ces coefficients ne dépendent nullement de la quantité a, mais seulement des autres quantités |3, y, 8,...; de sorte que nos séries seront toujours d'elles-mêmes

ordonnées relativement à la lettre a, quelle que soit la fonction Aie qu'elles expriment, puisque la variable y doit toujours être supposée égale à l'unité.

De plus, ces coefficients, une fois trouvés, serviront pour toutes les fonctions possibles de — ■> et, comme leur loi est assez simple, il sera facile de les calculer aussi loin qu'on voudra; on trouvera, par exemple,

E='Ç, E, =:2(3e -+- 2dy,

$ III. — Manière de trouver par les séries tontes les racines d'une équation quelconque.

24. Nous avons vu, dans le § II. comment on peut trouver, par les séries, l'expression d'une des racines d'une équation de degré quelconque; nous allons voir, dans celui-ci. de quelle manière on peut parvenir à trouver toutes les autres racines que la même équation peut renfermer. Pour cela, il est nécessaire de faire quelques observations générales sur la nature des différentes racines d'une même équation et sur la manière de les distinguer l'une de l'autre.

Considérons l'équation générale

o = a — bx -+- ex- — d.r3 -+- ex' — . . . ,

laquelle soit d'un degré quelconque m, et qui ait tous ses termes, en sorte qu'aucun des coefficients a, b, c,... ne soit nul; supposons que l'on ait trouvé l'expression de chacune des racines de cette équation, dont le nombre sera m; il est clair que ces expressions seront des fonctions de a,

h, c,...; mais il faut voir à quel caractère on pourra distinguer. ces différentes fonctions l'une de l'autre.

Je remarque d'abord que, si l'on suppose a = o dans l'équation proposée, elle devient

o = — bx -\- ex- — dx3 ■+■ ex1 — .... de sorte qu'elle se décompose en ces deux-ci

o = — h -+- ex — dx- -+- ex3 — . . . ,

d'où l'on voit que la supposition de a = o doit rendre nulle une des racines de l'équation; par conséquent, parmi les fonctions qui expriment ces racines il doit y en avoir une qui s'évanouisse en faisant a = o; et il est clair qu'il ne doit y en avoir qu'une seule qui ait cette propriété, puisque l'évanouissement de a ne réduit à zéro qu'une seule racine.

En conservant la supposition de a =o, et faisant maintenant abstraction de la racine x = o que nous avons déjà trouvée, les autres racines seront déterminées par l'équation

o — — b + ex — dx- ■+- ex3 — ....

Supposons de plus b = o, et l'équation précédente se décomposera de nouveau en ces deux-ci

o = e — dx -+- ex2 — . . . ,

ainsi cette supposition fera évanouir une nouvelle racine; de sorte que parmi les fonctions qui représentent ces racines, il faudra qu'il y en ait une qui s'évanouisse en faisant a = o et b = o.

En continuant le même raisonnement, on verra que parmi les fonctions dont il s'agit il y en aura aussi une qui s'évanouira par la supposition de

une qui s'évanouira par la supposition de

a = o, b = o, c = o, d = o, et ainsi de suite.

25. Comme il est indifférent dans quel ordre les termes d'une équation soient disposés, nous supposerons toujours dans la suite qu'ils le soient de manière que les exposants de l'inconnue forment une progression arithmétique ascendante; ainsi, par premier terme d'une équation il faudra entendre celui où l'inconnue ne se trouve pas, par second terme celui où l'inconnue se trouve au premier degré, et ainsi de suite; cela posé, nous appellerons en général première racine d'une équation celle qui devient nulle lorsque le premier terme de cette équation est supposé nul; seconde racine celle qui devient nulle lorsqu'on suppose nuls à la fois les deux premiers termes à la fois; troisième racine celle qui devient nulle lorsqu'on suppose nuls à la fois les trois premiers termes; et ainsi de suite.

De cette manière, on pourra toujours distinguer les différentes racines d'une équation entre elles; et si l'on a plusieurs expressions des racines d'une même équation, on pourra reconnaître si ces expressions représentent la même racine ou des racines différentes.

26. Nous venons de voir que la supposition de a = o et de b = o doit rendre nulles deux des racines de l'équation proposée, lesquelles seront déjà par cette condition même distinguées de toutes les autres; donc, si l'on suppose d'abord b — o, il est visible qu'en faisant ensuite a = o, les deux racines dont il s'agit s'évanouiront toutes deux en même temps; or, voici comment on pourra, dans ce cas, distinguer ces mêmes racines l'une de l'autre. En faisant b = o, l'équation proposée devient

o = a -+- ex- — dx3 -+- ex1 — ... ;

maintenant, au lieu de supposer a nul, supposons-le seulement infiniment petit, il est clair que les deux racines dont il s'agit devront aussi devenir infiniment petites (autrement elles ne s'évanouiraient pas lors- III. 6

que a = o); ainsi, en faisant x infiniment petit et négligeant, ce qu'il faut négliger en vertu de cette supposition, l'équation précédente deviendra

a -t- cx- = o,

laquelle donne les deux racines

+ \/~-c et ~\/-p

ce qui fournit un nouveau caractère pour distinguer les deux premières racines de l'équation proposée, tant entre elles que de toutes les autres. Ainsi, il faudra que les fonctions qui représentent ces deux racines soient telles, qu'en y faisant ô = o et a infiniment petit, elles deviennent les deux racines de l'équation a -+- ex2 = o.

On démontrera de même que les fonctions qui représentent les trois premières racines doivent être telles, qu'en y supposant à la fois 6 = 0, c = o et a infiniment petit, elles deviennent les trois racines de l'équation a — dx3 = o, et ainsi de suite.

De plus, comme la seconde et la troisième racine deviennent nulles en faisant b = o et c = o, après avoir déjà supposé a = o (numéro précédent), si l'on fait d'abord c = o, il est visible que la supposition de b = o rendra nulles ces deux racines en même temps; par conséquent, si l'on suppose seulement b infiniment petit, ces mêmes racines deviendront aussi infiniment petites; mais si dans l'équation

o = — b -+- ex — dx2 + ex3 — . . . ,

dont on a déjà séparé la première racine par la supposition de a = o (numéro précédent), on fait c = o, et b et x infiniment petits, elle se

réduit à celle-ci

— b — dx- = o ;

ainsi, il faudra que les fonctions qui représentent la seconde et la troisième racine de l'équation proposée soient telles, qu'en y faisant a = o, c = o et b infiniment petit, elles deviennent les racines de l'équation

— b — dx2 = o ;

ce qui peut servir encore à reconnaître ces racines et à les distinguer de toutes les autres.

Pareillement, si l'on fait c = o, d = o et b infiniment petit (a étant toujours supposé nul), on verra que les fonctions qui représentent la seconde, la troisième et la quatrième racine de l'équation proposée doivent devenir les racines de l'équation

— b -t- ex3 = o, et ainsi de suite. •

En procédant de la même manière, on prouvera aussi que la troisième

et la quatrième racine de l'équation proposée doivent être exprimées par

des fonctions telles, qu'en y supposant d'abord a = o, b = o, et ensuite

d = o et c infiniment petit, elles deviennent les racines de l'équation

c -t- ex2 = o, et ainsi des autres.

Cette méthode de distinguer les racines d'une équation est plus générale que celle du n° 24, laquelle ne saurait être employée dans bien des cas,.surtout lorsqu'il manque dans l'équation quelqu'un des termes intermédiaires, parce qu'alors l'évanouissement d'une seule lettre fait évanouir plusieurs racines à la fois, comme nous venons de le voir.

Après ces réflexions sur la manière de distinguer les différentes racines d'une équation, voyons la méthode qu'on peut employer pour les trouver; pour la faire mieux comprendre, nous l'appliquerons d'abord aux équations que nous avons déjà examinées dans le § III.

Problème 1.