On demande les deux racines de l'équation

a — bx -\- ex- = o.

Première solution. — Nous avons déjà trouvé, dans le n° 9, que l'une des valeurs de x peut s'exprimer par cette série

a «2 c Aa'c''

or, avant de chercher l'autre valeur, il est bon d'examiner quelle est la

racine qui est représentée par cette série; pour cet effet, je suppose d'abord, suivant la méthode du n° 24, a — o, et comme je vois que cette supposition détruit tous les termes de la série dont il s'agit, j'en conclus que cette série exprime la première racine de l'équation proposée; de sorte que c'est la seconde qui reste encore à trouver. Pour y parvenir, je donne à la proposée cette forme

b — ex =o,

qui peut se rapporter, comme on voit, à l'équation du n° 12; en y faisant

n = — i , et changeant a en b, b en cetc en — a. De cette manière, on

aura, par la formule du même numéro (en y faisant m = i), x égal à la

série

Or, en faisant d'abord a = o, cette suite se réduit à son premier terme -, lequel s'évanouit ensuite lorsqu'on suppose b = o; donc (25), cette série exprimera nécessairement la seconde racine de l'équation proposée; c'est ce qui s'accorde avec ce que nous avons trouvé dans le n° 9 par la résolution même de l'équation proposée.

Donc, en général, si l'on nomme x, et x2 la première et la seconde racine de l'équation

a — bx -+- ex'1 = o,

on aura, par les articles cités,

«"' mam+' c m (m -)- 3 ) c(n+'lc: m (m -+- 4M'» + 5 ) am+3c3 x"' = ¥■ H b"'+< "■" ~ ibm+i a.3.6m+6

bm mbm-"-a m ( m — 3 ) bm~i a"- m(m — ^)(m — 5)b"'^c3

2 Cm C"'~l 1Cm~2 2.3.C™-3

et si l'on veut avoir les logarithmes de x, et x2, on aura

è2 ib" 2.3.6e a.3.4.68

b ac 3 a-c2 ^.5.a3c3 5.6.7. a> c> log*, = log-- ¥--Isr- -^-^ ~ a 34 be

LITTÉRALES PAR LE MOYEN DES SÉRIES. ko

Seconde Solution. — Je fais x2 = t, et par conséquent x — \lt, ce qui réduit l'équation proposée à celle-ci

a -+■ et — b y/t = o,

laquelle peut se comparer de nouveau avec celle du n° 12, en y changeant b en — c, c en — b, x en t, et faisant n = -5 ainsi, faisant pour plus fie

simplicité \/ — — = p> on aura

im — i)(im)(im -+- 2 ) & / è \ ' 2.3.4 ~~P'" \ââJ

im(im — 3 ) ( 2 m — i)(2/n + i)(2m + 3) 2.3.4.5 ~l

Or, x étant égal à \jt, il n'y aura qu'à faire m = - pour avoir

: l ïs) + î p3 (i )

734 p l^aj + 2.3.4.5.6 p' v^ ,)

Mais, puisque p = 1/ j il est clair que la valeur de p sera également

positive et négative; de sorte qu'en substituant cette valeur on aura pour x la double série

laquelle représentera par conséquent les deux racines de l'équation a — bx -t- ex2 = o.

En effet, en faisant è = o, les deux séries se réduisent à

vte

ce qui montre (26) que ces séries représentent effectivement la- première et la seconde racine de l'équation dont il s'agit. C'est aussi de quoi on peut se convaincre facilement à posteriori en résolvant en série le radical sjb'1 — !\ac qui entre dans l'expression de a? (9), mais en prenant — (\ac pour le premier terme du binôme et è2 pour le second. Donc, faisant

on aura, en général, dans l'équation

a — bx -+- ex2 = o cette double valeur de xm, savoir

^ac 2.3-4 24a2c2

m1 [m2— 4)(m2— '6) *6 2.3.4-5.6 26a3cs

2«L 2-3 4ac 2.3-4-5

iAa2c2 ( m2 — i ) ( m2 — 9 ) ( m2 — 25 ) b6

Et si l'on veut avoir le logarithme de oc, on trouvera

logx = logP-p — ^«+ ^ ^. + ^3^5 ^^ + 2.3.4.5.6.7 V¥? +

Remarque. — Les séries trouvées dans la première solution ont l'avantage de ne renfermer que des quantités rationnelles, au lieu que celles de la seconde solution renferment la quantité irrationnelle

laquelle devient même imaginaire lorsque a et c sont de même signe,

LITTÉRALES PAR LE MOYEN DES SÉRIES. kl

quoique d'ailleurs les racines de l'équation puissent être réelles; de sorte qu'à cet égard les séries de la première solution paraissent préférables, puisqu'elles se présentent toujours sous une forme réelle; cependant ni les unes ni les autres ne peuvent être regardées comme bonnes, à moins qu'elles ne soient convergentes; c'est ce que nous examinerons plus bas, § IV.

28. Pour peu qu'on ait fait d'attention à la manière dont nous avons résolu lé Problème précédent, on verra qu'en général, quelle que soit l'équation proposée, on pourra toujours trouver autant de différentes séries pour exprimer les racines de cette équation, que l'on pourra faire de combinaisons deux à deux des termes de la même équation; et que de plus chacune de ces séries sera simple, ou double, ou triple, etc., suivant qu'elle répondra à une combinaison où les exposants de x dans les deux termes différeront l'un de l'autre de l'unité, ou de deux unités, ou de trois, etc.

En effet, il est évident qu'on peut trouver autant de séries pour la valeur de x qu'il y a de manières de comparer l'équation proposée à la

formule générale

ol — .r -t- cp (.r) = o

du n° 16; or, comme on peut prendre pour <p (x) une fonction quelconque de x, il s'ensuit qu'on pourra prendre, pour les deux premiers ternies a — a; de cette formule, deux quelconques des termes de la proposée à volonté; et qu'ainsi la comparaison pourra se faire d'autant de manières différentes qu'il y aura de combinaisons possibles des termes de cette équation pris deux à deux.