M. Fermât a trouvé le premier les Théorèmes suivants

i° Tous les nombres premiers de la forme l^n -+- i sont aussi de la forme

2° Tous les nombres premiers de la forme 6n-h i sont de la forme

3° Tous les nombres premiers de la forme 8 n ■+- i sont de la forme

4° Tous les nombres premiers de la forme Sn ■+- 3 sont aussi de la forme

5° Tous les nombres premiers de la forme 8n± i sont de la forme

6° Le produit de deux nombres premiers de la forme l\n -+- 3, et terminés par les caractères 3 ou 7, est toujours de la forme y- -4- 5 s2 ; et le carré de chacun de ces nombres en particulier est aussi de la même forme.

Les quatre premiers et le dernier de ces Théorèmes se trouvent dans une Lettre de M. Fermât à M. Digby insérée dans le Commercium episto-

licum de M. Wallis (Wallisii Opéra, t. II, p. 857); le cinquième ne se trouve, à la vérité, que dans les Lettres de M. Frenicle à M. Fermât, imprimées dans les OEuvi-es mathématiques de Fermât, pages 168, 170; mais il paraît, par ces Lettres mêmes, que ce dernier l'avait aussi déjà trouvé de son côté.

Quant à la démonstration de ces Théorèmes, M. Fermât ne l'a point donnée, du moins on n'en trouve aucune trace dans les Ouvrages de ce savant qui nous sont restés; mais M. Euler a entrepris d'y suppléer, et a réussi en effet à démontrer les deux premiers Théorèmes, et même le troisième, quoiqu'il n'ait encore publié que la démonstration des deux premiers {voyez les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, t.V,VI, VIII).

A l'égard des autres Théorèmes de M. Fermât, et surtout du quatrième, M. Euler avoue qu'il n'a pu parvenir à le démontrer; il en est de même de quelques autres Théorèmes semblables que M. Euler a trouvés par induction [voyez t. VI, p. 221, et t. VIII, p. 127 des Commentaires cités), et que voici :

70 Tous les nombres premiers des formes ion 4- 1 et 20 n 4- 9 sont de la forme y2 -t- 5 s2.

8° Tous les nombres premiers des formes il\n + \ et 24/2-4-7 sont de la forme y'2, 4- 6 s2.

90 Tous les nombres premiers des formes a^n 4- 5 et il\n 4- 1 1 sont de la forme 2 y- 4- 3 s2.

io° Tous les nombres premiers de ces formes 28/1-4-1, 28/14-9, 28/1 4- 1 1 , 28/1 4- i5, 28/1 4- 23, 28/1 4- 25 sont de la forme y- 4- 7s2.

On trouve encore un plus grand nombre de pareils Théorèmes dans le tome XIV des anciens Commentaires de Pétersbourg, mais dont aucun n'a été démontré jusqu'à présent.

Les principes établis jusqu'ici peuvent servir à démontrer la plupart de ces Théorèmes et même à en trouver de nouveaux; mais il faut pour cela poser les Lemmes suivants.

Lemme I.

37. Si p est un nombre premier quelconque, et x un nombre non divisible par p, le nombre xp~K — i est toujours divisible par p.

C'est le Théorème connu de M. Fermât dont M. Euler a donné différentes démonstrations dans les Commentaires de Pétersbourg. Voyez aussi à ce sujet les Mémoires de 1771 (*).

Il y a donc un nombre p — 1 de nombres entiers positifs ou négatifs,

chacun moindre que -■> qu'on peut prendre pour x, en sorte que xp~' — 1 devienne divisible par/?; car ces nombres sont ±1, ±2,..., ±

Lemme II.

38. Si le binôme xp~' — 1 est résoluble en deux facteurs rationnels et entiers X et Ç, dont les degrés soient m et p., en sorte que m -1- (x=p — 1 ;

je dis qu'il y aura nécessairement m valeurs de x moindres que — qui rendront X divisible par p, et p. valeurs de x moindres que — qui rendront % aussi divisible par p .

Car puisque par le Lemme précédent il y a p — i valeurs de x moindres que — i qui rendent xp~' — 1 divisible par/>, il y aura donc m -+- p. valeurs de x moindres que - qui rendront X§ divisible par p; mais/) étant un nombre premier, X£ ne peut être divisible par/», à moins que X ou £ ne le soit; d'autre part le nombre des valeurs de x moindres que -■> lesquelles peuvent rendre le polynôme X ou S, divisible par p, ne peut surpasser m ou p., ainsi que nous l'avons démontré dans les Mémoires de 1768 (**); donc il faudra nécessairement que le nombre des valeurs

(*) OEiwres de Lagrauge, t. III, p. 4^5. (**) OEuvres de Lagrauge , t. II, p. 667.