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de x moindres que — ; lesquelles rendront X divisible par p, soit m, et

que celui des valeurs de x moindres que -■> lesquelles rendront S, divisible par/;, soit p..

En général, si H est un polynôme quelconque entier et rationnel en x, dont le degré soit moindre que p — i , et que le polynôme xp~' ± pli — i soit résoluble dans les deux polynômes X et £ rationnels et entiers, il suit de la démonstration précédente qu'il y aura toujours m valeurs de x

moindres que - qui rendront X divisible par p, et p. valeurs de x moindres que S- qui rendront § divisible par/;.

Lemme III.

39. Si un nombre premier p est un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2, a étant un nombre donné positif ou négatif, et t, u des nombres'

premiers entre eux, et non divisibles par p ; je dis que a ' — i sera nécessairement divisible par p.

p-< Et réciproquement si a ' — r est divisible par p, ce nombre p pourra

toujours être un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2.

Car :

i° Supposant t2 — au2 =pM, on aura

f = au2 -+- pM ;

or, par le Lemme I, lp~' — i et up~* — î sont divisibles par/;; donc

(au2-h.pM) * — i

sera aussi divisible par/;; mais en développant la puissance

(au- -h pM) '■ ,

on voit que tous les termes en sont d'eux-mêmes multiples de p, excepté

le premier

p-' up-' a ! ;

donc

£Z"J up-i a '■ j

sera divisible par/?; mais up~* — i étant aussi divisible par p,

sera encore divisible par/?; par conséquent la différence de ces nombres, c'est-à-dire

sera nécessairement divisible par/?.

p—' 20 Si a ' — i est supposé divisible par/?, alors, par le Lemme II, il y

aura toujours quelques valeurs de x qui rendront chacun des facteurs de

\en prenant aT*~ — i = pU) divisible par/?; mais ce binôme a pour facteur a?2 — a; donc p pourra être diviseur de x2 — a, c'est-à-dire d'un nombre de la forme t2 — au2.

Lemme IV.

40. Si l'on a un nombre premier p de la forme l\n + i , lequel soit un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au-, il le sera aussi nécessairement d'un nombre de la forme t2 -+- a u2 .

Et vice versa si p n'est jamais un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2, il ne pourra jamais l'être d'un nombre de la forme l2 -+- au2.

Car si p est un diviseur d'un nombre de la forme t2— au2, on aura par p— i le Lemme précédent a 2 — i divisible par/?; mais = ara; donc

a2'1— i sera divisible par/»; donc aussi, changeant a en — a, {—a)2" — i

sera divisible par/?; c'est-à-dire que

sera divisible par /?; par conséquent, par la seconde partie du Lemme précédent, p sera un diviseur d'un nombre de la forme t2-\-au2.

De même, en changeant a en — a on prouvera que si/? est un diviseur d'un nombre de la forme t2-+- au2, il le sera aussi d'un nombre de la forme t2 — au2; par conséquent, si p ne peut être un diviseur de t2 — au2, il ne pourra l'être non plus d'un nombre de la forme t2 -+- au2.

Lemme V.

41 . Si p est de la forme (±n — i , et que ce nombre soit un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2, il ne pourra jamais l'être d'un nombre de la forme t2 -h au2.

Et réciproquement si p ne peut être un diviseur d'un nombre de la forme t2 — au2, il le sera nécessairement d'un nombre de la forme t2 -+- au2.

Car p étant un diviseur de t2 — au2, il faudra que l'on ait a '' — i , savoir a2"-1— i divisible par/? (Lemme III); de même, pour que t2-t-au2 fût divisible par/?, il faudrait que l'on eût, en changeant a en —a, ( — a)2"-1 — i divisible par/;, c'est-à-dire (à cause que l'exposant 2n — i est impair) que a2"-' -+- 1 fût aussi divisible par p; ce qui ne se peut.

Si p ne peut être un diviseur de t2 — au2, alors a ' — i ne sera pas

divisible par/? (Lemme III). Or ap-' — i est toujours nécessairement divisible par/? (Lemme I); mais

aP->—i = \a 2 —i)\a * +i/;

p- • donc puisque/? est premier et que a ' —\ n'est pas divisible par/?, il

faut nécessairement que a : ' -+- 1 soit divisible par p. Ainsi dans ce cas

a 2 -+- 1 sera divisible par/?; donc aussi

2 2 H- i ou bien

( — a)2"-1 — 1 ou bien ( — a) * — i

sera divisible par p. Donc, par le Lemme III , le nombre p sera diviseur d'un nombre de la forme t" -+- au2.