Soient en général
deux termes quelconques de l'équation proposée; et soit désignée par X la totalité des autres termes, en sorte que l'équation soit mise sous cette forme
Mx''-Nx''+' + X = o.
On divisera d'abord par Na?'1, ce qui la réduira à celle-ci •
M „ X*-'* ensuite on fera x = t, et par conséquent
et désignant par T la fonction de t, dans laquelle se changera la quantité X par la substitution de \Jl à la place de x, on aura la transformée
M Tt v
laquelle rentre évidemment dans la formule générale
a — x -+- cp (x) = o,
en faisant
M , , , , Tt
X — l, tp (X) = (0 ( t) :
On aura donc (16), en mettant t ou x à la place de p,
i rf'| T'< " t[/(f)J 2.3.N3 A2 '
où il faudra faire t = ==-5 après avoir exécuté les diflérentiations indi
quées.
Donc, faisant -J> (/) = £v, et par conséquent
vN2
dt
vN3
dt-
pour avoir è (x") = x, on aura
^■* = '7 + ïïîT'
C'est l'expression de la racine a? qui résultera de la combinaison des termes Mx1' — Na?//'"t"v de l'équation proposée.
30. Maintenant il est visible que l'expression de x que nous venons
de trouver contiendra nécessairement le radical l/™- qui proviendra de
la substitution de ^ à la place de t, et il est facile de se convaincre que
cette expression ne contiendra point d'autre radical; car, puisque X est une fonction rationnelle de x, T sera aussi une fonction rationnelle de \jt, et par conséquent toute la série qui exprime la valeur de x sera une fonc-
tion rationnelle de \t, c'est-à-dire de V/™--
" /M Or, on sait que le radical l/™- a v valeurs différentes qui sont les racines de l'équation
et qui (par le théorème connu de Cotes), peuvent se représenter, en général, par la formule
cos
-W Isin___jy/
X étant successivement égal à î, 2, 3,..., jusqu'à v.
' /m Donc, si l'on substitue cette quantité à la place de \/^> la série qui
représentera la valeur de x se transformera en v séries qui donneront autant de différentes expressions de x.
31. Je dis présentement que les v séries ou expressions de x qui résultent de la considération des termes Mx'J' — Na/'~t~'J de l'équation proposée, c'est-à-dire celles qu'on trouve en prenant ces deux termes pour
les premiers de la formule générale (H), représentent nécessairement v racines différentes de cette équation, et qu'en particulier (25) elles représentent les racines p.'""%. (\j. 4- 1 )""", {\x -+- 2)"'"",. . . , jusqu'à la (p. ■+- v — 1 )""" de la même équation.
Pour le prouver, il suffit de faire voir, suivant la méthode du n° 26. qu'en supposant dans l'expression générale de x de la formule (Lj les coefficients des termes de l'équation proposée où les exposants de x seraient moindres que p., chacun égal à zéro, comme aussi chacun des coefficients des termes intermédiaires entre les deux Mar" et N;r""i"v, et faisant en même temps M infiniment petit, cette expression se réduira à
" /M celle-ci \/ ■**■> qui est la racine générale de l'équation
Or, après la destruction des termes dont nous venons de parler, il est clair que la quantité X ne renfermera plus que des puissances de x plus
grandes que x'J+'J , et qu'ainsi la quantité T ne renfermera que des puis-
,»■ -+- ■' sances de t plus grandes que t " ; d'où il est facile de voir que les fonctions
d\Tt
dt
de la formule (L) ne seront plus composées que des puissances de l plus
M grandes que t'; donc, faisant t = -^, et supposant ensuite M infiniment
petit, c'est-à-dire t infiniment petit, il est évident que toutes ces puis-
sances de t s'évanouiront vis-à-vis du premier terme i' de l'expression de x, laquelle se réduira par conséquent à f ou à (^) -, à cause de
32. De là il est aisé de conclure que, pour trouver toutes les racines d'une équation donnée, par le moyen de nos séries, il n'y aura qu'à coin-
biner le premier terme de cette équation avec le dernier, ou immédiatement ce qui donnera une série qui renfermera toutes les racines, ou moyennant les termes intermédiaires, c'est-à-dire en combinant d'abord le premier terme avec quelqu'un des suivants, ensuite celui-ci avec le dernier, ou avec quelqu'un de ceux qui le précèdent, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive au dernier terme [par cette expression de combiner deux termes de l'équation proposée, nous entendons qu'il faut prendre ces deux termes pour les deux premiers de notre formule générale (H); nous nous servirons aussi dans la suite de cette même expression abrégée] . Cliacune de ces combinaisons donnera une série simple, ou double, ou triple, etc., qui représentera par conséquent une, ou deux, ou trois, etc., racines, suivant l'intervalle qu'il y aura entre les deux termes; de sorte que, quels que soient les termes que l'on comparera successivement ensemble, on obtiendra toujours autant de racines ni plus ni moins que l'équation en doit avoir.
33. Il est bon de remarquer que les séries qu'on trouvera en combinant deux termes quelconques de l'équation proposée auront autant de valeurs réelles et autant d'imaginaires qu'il y aura de racines réelles et d'imaginaires dans l'équation qu'on pourra faire en égalant ces deux termes à zéro (30); de plus, il est clair que l'on ne trouvera de séries toutes rationnelles que lorsqu'on combinera des termes tels que
ainsi, si l'équation a tous ses termes, on pourra, en combinant chaque terme avec celui qui le suit immédiatement, trouver des séries toutes rationnelles pour l'expression de chacune de ses racines; mais s'il manque quelque terme dans l'équation, comme si l'on suppose que le terme M.xH' soit suivi immédiatement du terme — Nx'l~hv, en sorte qu'il manque v — i termes intermédiaires, alors la combinaison de ces deux termes consécutifs donnera une série qui renfermera le radical
Vn'
et qui représentera par conséquent les différentes racines qu'on aurait trouvées par la considération de tous les ternies intermédiaires si ces termes n'avaient pas manqué.
Donc on aura dans ce cas autant de séries imaginaires que le radical
aura de valeurs imaginaires, c'est-à-dire qu'il y aura de racines imaginaires dans l'équation
Or, on sait que dans une équation qui manque de quelques-uns de ses termes, il y a nécessairement autant de racines imaginaires qu'il y en aurait dans l'équation qu'on pourrait faire, en égalant à zéro la somme des deux termes de cette équation entre lesquels devraient se trouver les termes manquants; de sorte qu'en supposant, comme plus haut, que le terme Ma/ soit suivi immédiatement du ternie — N;r'J'~l~\ il y aura nécessairement dans l'équation autant de racines imaginaires qu'il y en a dans l'équation
ou bien
De là il s'ensuit qu'en combinant deux à deux tous les termes consécutifs d'une équation quelconque, on ne trouvera jamais d'expressions imaginaires pour les racines que lorsqu'il y aura réellement des racines imaginaires dans l'équation. Il n'en est pas de même lorsqu'on combine des termes qui ne sont pas immédiatement consécutifs; dans ce cas, il arrivera souvent que les racines se présenteront sous une forme imaginaire, quoiqu'elles soient d'ailleurs réelles, comme nous l'avons déjà vu dans la Remarque qui est à la fin du Problème précédent.
34. Enfin, il résulte de ce que nous avons dit dans le n° 31, que les
séries trouvées dans les différents Exemples du § II ne représentent que les premières racines des équations proposées, puisque toutes ces séries ont été trouvées par la combinaison des deux premiers termes des mêmes équations; ainsi, pour trouver les autres racines, il n'y aura qu'à combiner le second terme, ou immédiatement avec le dernier, ou avec quelqu'un des intermédiaires, et ensuite celui-ci avec le dernier, comme nous l'avons expliqué dans le numéro cité.
Problème II.
