On demande toutes les racines de l'équation

a — bx -+- ex" = o, n étant un nombre entier positif.

Première Solution. — En combinant d'abord les deux premiers

termes de cette équation,

a — bx,

on trouvera pour x la même série que nous avons déjà trouvée dans l'Exemple II du n° 12; cette valeur de x sera donc la première racine de l'équation proposée (numéro précédent) que nous nommerons x,-, ainsi l'on aura, en général,

ml m + 2»-i c'a2'

b" ib*"

m (m -\- in — i)(m + 3n — i ) c3 a31 2.3.è3"

Pour trouver maintenant les autres n — i racines de la même équation, il faudra combiner les deux termes — bx + cx'1; c'est pourquoi nous mettrons d'abord (29) l'équation sous cette forme

b ax~

et ensuite sous celle-ci

b at'

en faisant t = xn~' , et par conséquent x — t"

Or, cette équation étant de la même forme que la précédente en x, on pourra faire usage de la même formule pour en tirer la valeur de t; on mettra donc b à la place de a, c à la place de b, — a à la place de c, et

changeant x en t, et n en ? on aura, en général,

mai'

«3ft' "

Or, puisque t — x"^, mettons à la place de m, et faisant, pour plus de simplicité,

nous aurons

[ma m(m — n — i)a2 m(m — n — 2) (m — in — 1)

)bç>

<,(n — i)2ft2p2