re — i)363p

Or, puisque la quantité p est égale à la racine (n — i)'éme de -1 elle aura n — 1 valeurs différentes, qui pourront s'exprimer en général de cette

1 X 36o» . I > p = 1 cos h sin

X 36o° , \ "- lb

X étant égal à 1, ou 2, ou 3, ou..., jusqu'à n — 1 .

Donc, substituant cette expression de p dans la formule précédente,

on aura n — i valeurs différentes de xm; ce seront les valeurs de x™, x™,..., x%, et désignant par x2, x3,..., xn la seconde, la troisième, etc., jusqu'à la n*"" racine de l'équation proposée.

Ainsi l'on aura chacune des n racines de cette équation, et même une puissance quelconque de ces racines. On pourra trouver aussi par nos formules une fonction quelconque de ces racines; c'est sur quoi il ne paraît pas nécessaire d'entrer ici dans un plus grand détail.

Seconde Solution. — Prenons maintenant les deux termes extrêmes a -+- cx'\ et cette combinaison nous donnera immédiatement toutes les n racines de l'équation proposée.

Pour cela, on mettra l'équation sous cette forme

et l'on fera ensuite x" = t, et par conséquent x = t", pour avoir celle-ci

bf

Cette équation pouvant se rapporter à l'équation primitive

a — bx -+- ex" — o,

on pourra déduire aisément la valeur de tm de celle de x'" trouvée cidessus, en changeant seulement x. en t, b en — c, c en — b, et n en -•

Ainsi l'on aura sur-le-champ

(~or

{-of

m l ni H \ [m -+- — — b3 a

Or, t = x"; donc, si l'on met — à la place de m, et qu'on fasse, pour abréger,

m r mbp m (m -t- 2 — n)b'*p2 m(/n-4-3 — /i.)(»z-i-3 — 2«)63p3

na ■in? a' 2.3.rasa3 J

Mais on a, en général.

X étant égal à 1, ou 2, ou 3, ou..., jusqu'à n; donc, substituant cette valeur de p dans l'expression précédente, on aura n valeurs différentes de xm, qui seront celles de x'", x'", x",..., x"'.

Problème III.