On demande toutes les racines de l'équation
a — bx -t- ex" — ex' = o, n et s étant des nombres entiers positifs , et s^> n.
Première Solution. — i° Puisque cette équation peut se rapporter à celle de l'Exemple VI du n° 21, en faisant
il n'y aura qu'à faire ces substitutions dans les formules de cet Exemple, et l'on aura sur-le-champ l'expression d'une fonction quelconque de — » où x sera nécessairement la première racine de l'équation proposée (34).
20 Pour trouver maintenant les autres racines, on prendra les deux termes — bx + ex" pour les premiers de la formule générale, en donnant à l'équation cette forme
b — cx"~' — ax-' -t- ex'~' = o.
On fera ensuite x"~* = t, ce qui la ramènera à la même forme que celle de l'Exemple cité; ou bien, ce qui revient au même, on comparera cette équation à celle de l'Exemple VII, en faisant
c ce
et l'on aura sur-le-champ la valeur d'une fonction quelconque de —■,
,'b\'-' p étant = y/<z ;
ainsi, donnant à p les r valeurs que cette quantité peut avoir, et qui s'expriment, en général, de cette manière
p = I cos hsin — - \J — i Wa>
X étant égal à i , ou 2, ou 3, etc., jusqu'à r, on aura roun-'i formules différentes qui se rapporteront à la seconde, ou à la troisième, etc., jusqu'à la nièm" racine inclusivement de l'équation dont il s'agit.
3° On prendra enfin les deux derniers termes ex" — exs pour les premiers, en écrivant l'équation ainsi
e — ex'-" — bx'~" -h ax~" = o ;
laquelle étant comparée de même à l'équation de l'Exemple VII, on aura
s — n = r, 1 — n=p, q = 1 ; III. S
et l'on trouvera l'expression d'une fonction quelconque de — >
p étant toujours = 'J a ■
dans laquelle mettant successivement les r ou s — n valeurs différentes de p, on aura autant d'expressions différentes qui se rapporteront aux s — n dernières racines de l'équation.
Ainsi l'on aura trois formules dont la première se rapportera à la première racine, la seconde comprendra les n — i racines suivantes, et la troisième renfermera les s — n. dernières racines; de sorte qu'on con-, naîtra par ce moyen, non-seulement la valeur de chacune des s racines de l'équation proposée, mais aussi une fonction quelconque de chacune de ces racines.
Seconde Solution. —Dans la Solution précédente nous avons considéré deux à deux les termes consécutifs de l'équation proposée ; or, la combinaison des termes qui ne sont pas immédiatement voisins nous donnera encore d'autres Solutions.
Et d'abord il est clair qu'après avoir combiné les deux premiers termes a — bx, comme nous l'avons fait ci-dessus pour avoir la première racine de l'équation, on peut combiner immédiatement le terme — bx avec le dernier — exs pour avoir les autres racines. Pour cela on regardera donc ces deux termes comme les premiers, en écrivant l'équation ainsi
b -+- ex*-1 — ax~' — cx"~s = o,
laquelle, étant comparée à celle de l'Exemple VII, donnera
r = * — 1, p = ' — 1 , q =n — s + i; de sorte qu'en substituant ces valeurs, on aura l'expression générale d'une fonction quelconque de — »
p étant = a! -
donc, mettant pour p chacune de ses valeurs particulières, qui sont au nombre de s — i, on aura autant d'expressions différentes qui se rapporteront aux s — i racines cherchées.
Ainsi, en combinant la formule du i°de la Solution précédente avec celle dont nous venons de parler, on trouvera la valeur d'une fonction quelconque de chacune des s racines de l'équation proposée.
Troisième Solution. — Combinons maintenant le premier terme a de l'équation avec le terme cxn, c'est-à-dire, prenons ces deux termes pour les deux premiers de notre formule générale, et rapportant l'équation sous ce point de vue à la formule de l'Exemple VII, on aura
ce qui, étant substitué, donnera une formule qui exprimera, en général, une fonction quelconque de — >
donc, introduisant à la place de p chacune des n valeurs différentes que cette quantité peut avoir, on aura autant de formules particulières qui se rapporteront aux n premières racines de l'équation proposée.
Pour trouver les s — n racines restantes, il faudra combiner le terme ex" avec le dernier terme — exs; or, cette combinaison ayant déjà été faite dans le 3° de la première Solution, il n'y aura qu'à emprunter ici la formule trouvée dans cet endroit.
Donc on n'aura en tout que deux formules générales comme dans la Solution précédente; et l'on pourra, par le moyen de ces formules, trouver non-seulement chaque racine en particulier, mais aussi une fonction quelconque de chaque racine.
Quatrième Solution. — Il reste encore une combinaison à faire, c'est
celle des deux ternies extrêmes a et — exs, laquelle donnera immédiatement toutes les s racines de l'équation.
En rapportant donc sous ce point de vue l'équation proposée à celle de l'Exemple VII, on aura
et l'on trouvera une formule générale pour l'expression d'une fonction quelconque de — > où
de sorte qu'en y substituant successivement les s valeurs de p, on aura autant de formules particulières, dont chacune se rapportera à une des racines de l'équation dont il s'agit. Ainsi une seule formule générale suffira dans ce cas pour trouver la valeur d'une fonction quelconque de chacune de ces racines.
Comme nous avons épuisé toutes les combinaisons possibles des termes de l'équation proposée, pris deux à deux, on ne pourra pas trouver d'autres solutions que celles que nous venons de donner, au moins par nos formules; ainsi nous ne nous arrêterons pas davantage sur cette matière, les Exemples donnés ci-dessus nous paraissant suffisants pour faire voir clairement l'application de notre méthode.
§ IV. — Sur la convergence ou divergence des séries qui représentent des fonctions quelconques des racines des équations.
37. Il ne suffit pas de pouvoir exprimer les racines des équations, ou leurs fonctions quelconques, par des séries régulières, et dont la loi soit bien développée; il faut surtout pouvoir reconnaître par la loi même de ces séries si elles sont convergentes à l'infini ou non; car il est clair que
LITTÉRALES PAR LE MOYEN DES SÉRIES. (il
pour qu'une série puisse être regardée comme représentant réellement la valeur d'une quantité cherchée, il faut qu'elle soit convergente à son extrémité, c'est-à-dire que ses derniers termes soient infiniment petits, de sorte que l'erreur puisse devenir moindre qu'aucune quantité donnée. Voyons donc comment on pourra reconnaître si cette condition a lieu ou non dans les séries des paragraphes précédents.
Pour rendre notre recherche aussi générale qu'il est possihle, nous considérerons l'équation générale (H) du n° 16, savoir
laquelle donne en général (n° 17, formule K)
ù (-}=&( y) + y^rlftr) + j ^[y(«r)2^'(r)]
\« / a. itx* dy
i rf'[<p(«rm.r)] L
■?.. 3 . a3 dy-
la variable y devant être faite égale à i après les différentiations. Soit donc
i .2.3. . . i.a' dy'~'
un terme quelconque de cette série, dont le quantième soit î-+- î ; et supposons que la fonction a (x) soit représentée par une suite quelconque de puissances de x, en sorte que l'on ait
cp [x) = kx" -t- \ixb -+- Cx° -f- . . . ,
A, B, C, . . . étant des coefficients quelconques, et a, b,c,... des exposants aussi quelconques; on aura donc de même
(o(af) — Xcc'y" -4- Ba4j4 -+- Cacyc + • ■ • ,
par conséquent un terme quelconque de la puissance iihne de cette quantité, c'est-à-dire de la valeur de f(œy)' sera, comme on sait,
r ' l2 ' -5 Am B" C . . . ( « y )?*t**+*p+- ■ • ,
i.2.3. . .mXi .2.3. . .«X i.2.3. . .px... - '
m, n, p,... étant des nombres entiers positifs, tels que
Supposons de plus que la fonction ù'(y) soit aussi représentée par une suite de termes tels que Yyf\ et multipliant la quantité précédente par ¥yf, on aura pour un terme quelconque de la valeur de ®(&y)'ty'(y), l'expression
i.2.3...ixF.A'B"Cf...a'
i.2.3...mXi.2.3...nXi.2.3.../)X...' en faisant pour plus de simplicité
ma ■+■ nb -+- pc ■+- . . .= u.
Donc, différentiant cette quantité i— i fois, en faisant y variable et dy constant, et divisant ensuite par i.2.3...i.aldy'~i, on aura pour la valeur d'un terme quelconque de
i rf'~'[9(°t.r)'il/(j)]7
i .2.3. . .i.a' dy'~'
après y avoir fait y = r, la quantité
i.2.3...mXi.2.3...«Xi.a.3...^X...
Ainsi la difficulté se réduit maintenant à voir ce que cette quantité devient lorsqu'on suppose i infiniment grand.
38. Pour cet effet, je remarque que l'on a, en prenant ts pour le rapport de la circonférence au rayon,
log i -i- log2 -+- log3 + log4 -+- • • • -+■ logx = ( x -\ — J logar — x H — logzn
\ix 36oa;3
comme MM. Stirling, Moivre et d'autres Géomètres l'ont démontré [voyez surtout le Calcul différentiel de M. Euler); de sorte que, lorsque x est
infiniment grand, on a, sans erreur sensible,
logi -t- log2 4- log3 +. . .+ logar = ix-\ — 1 \ogx — x 4- -loger
= [x 4- - ) logx — loge* 4- -lognj,
d'où, en passant des logarithmes aux nombres, on tire dans la même
hypothèse
/ — i+4 , sjrnx J
ex On a de plus, en général, quels que soient x et y,
log.r 4- log(.r — i) -l- log(.r — 2) 4-. . .-+- \og(x — y 4 1) logjf — x
\ix 36ox3
iz(x — y) 36o(jc — de sorte qu'en supposant x et y infiniment grands, on aura
log* -t- log( x — 1 ) 4- log (x — 2 ) 4- . . . + log( x — y -h 1) \x-\ — ) logx — (x — y 4- - ) log(x — y) — y,
et par conséquent, en passant des logarithmes aux nombres,
(x — yf~~r+1
De là il s'ensuit, pour le dire en passant, que le coefficient du (y 4- i)'v'"e terme du binôme élevé à la puissance x sera, lorsque x et y sont trèsgrands,
\]'tnX(x — y) r 2 Xj' 2 de sorte qu'en faisant y = px ce coefficient deviendra, en divisant le
haut et le bas par xx+1>
IjzrjjjVr
