I.2.3. . .i.a' dy

lorsque i est infiniment grand, cette expression fort simple

dans laquelle X est le nombre des termes de la fonction <p [x), et où p., y, n,... sont des nombres quelconques positifs, tels que

fZ -+- V ■+■ 7T + . . . = I

a\i. + bv + en + . . .= u.

Ainsi cette quantité sera infinie ou nulle, suivant que N aura une valeur, soit positive ou négative, plus grande que l'unité, ou non.

D'où il est aisé de conclure que la série qui représentera la valeur de

<h ( — ) (37), sera convergente si l'on a, abstraction faite du signe,

N= ou <i;

autrement elle sera divergente.

Or, comme la quantité N dépend seulement des coefficients A, B, C,... et des exposants a, b, c,... qui entrent dans l'expression de la fonction

<o (x), et nullement de ceux qui appartiennent à la fonction <\i (x), et qui sont F, /,..., il s'ensuit que si la série qui exprime la valeur d'une fonction quelconque de — est convergente, elle le sera aussi pour toute autre fonction de — ■

42. Au reste, il est bon de remarquer que, quoique les coefficients A, B, C,... puissent être positifs ou négatifs, ainsi que la quantité oc; cependant, comme il ne s'agit ici que de la valeur absolue de la quantité (37)

FA"'B"(X. .a"

il est indifférent, de les prendre positivement ou négativement; ainsi, pour éviter les imaginaires dans la valeur de N, nous supposerons que les coefficients A, B, C,... soient pris positivement, à cause que p., v, n;... doivent être positifs par leur nature, et à l'égard de a nous supposerons qu'il soit pris en sorte que soit positif; par ce moyen, quels

que soient les nombres jx, v, n,..., v, la valeur de N sera toujours sous une forme réelle.

43. Supposons que la fonction ® (x) ne renferme qu'un seul terme Ax", en sorte que l'équation soit

ce — x -+- Ax"= o, dans ce cas on aura

donc

donc la série sera convergente si l'on a

A= ou < -

« \ ceci

1 va \v —

afj.