XI

Ce cas est celui du Problème II, § III; or, dans la première Solution, on a

d'abord

a.-= ti A = -ri a = re ; b b

donc la première série de cette Solution, c'est-à-dire celle qui se rapporte à la première racine, sera convergente si l'on a

, r(re-i)n-

n l an J

c'est-à-dire (abstraction faite des signes)

an~' c (n — i )"-'

— j— = ou <- -! — ,

en prenant a, b et c positivement.

Soit n = 2, on aura cette condition

ac i

-¥= ou<?' c'est-à-dire b2 = ou > l\ac\ or, c'est précisément la condition qui rend

convergente la série provenant du développement du radical \/b2 — l\ac,

et qui est la même que celle que nous avons trouvée par notre méthode (9) .

Dans la seconde série de la même Solution, on a, en comparant

l'équation

à la formule générale ci-dessus,

donc la condition de la convergence de cette série sera (abstraction faite des signes)

- = ou <(i — i

ou bien

c«"~' ( Il — i )"1

= ou

qui est la même condition que la précédente.

Dans la seconde Solution on aura, en comparant l'équation

bt" t = o

à la même formule générale,

ct = j A = — et a == - ;

d'où la condition de la convergence des séries de cette Solution sera, abstraction faite des signes,

- = ou < n |

laquelle se réduit à celle-ci

In — i ou >^ -i

qui est l'opposée de celle que nous avons trouvée pour la première Solution.

Donc :

i° Si dans l'équation

a — bx -+- ex'1 = o,

on a (abstraction faite des signes de a, b, c)

an~'c ^.{n — 1)"~'

—nr = ou < -p — j

il faudra employer la première Solution du Problème II, laquelle donnera toujours des séries convergentes, et par conséquent vraies pour toutes

les racines; de sorte que ces racines seront réelles ou imaginaires, suivant que les séries qui les représentent le seront.

Donc (33) l'équation proposée aura dans ce cas autant de racines réelles et autant d'imaginaires qu'il y en aura de telles dans les équations qu'on pourra faire en combinant ensemble deux termes consécutifs de cette équation, et les égalant à zéro; c'est-à-dire dans les équations

— bx = o et b — cxn~

d'où l'on voit qu'il y en aura toujours au moins une de réelle.

20 Si l'on a

— j— — ou > v -' — ,

alors il faudra employer la seconde Solution dont les séries seront nécessairement convergentes; de sorte que dans ce cas l'équation aura autant de racines réelles et autant d'imaginaires qu'il y en aura de telles dans l'équation qu'on fera en égalant à zéro le premier et le dernier terme de la proposée, c'est-à-dire dans l'équation

a -t- ex" — o.