Si l'on avait

a -+- ar"H-"-= o.

a" cm m'" n"

bm+n (m + n)"H

alors les deux conditions seraient les mêmes; de sorte qu'il faudrait dire que l'équation aurait dans ce cas autant de racines réelles et autant d'imaginaires qu'il y en aurait de telles dans les équations

a — bx'" = o et b — ex" = o,

et dans l'équation

a -+- cxm+" = o ;

donc, s'il arrive que le nombre des racines imaginaires de ces deux équations-là soit différent de celui de cette équation-ci, il s'ensuivra qu'il y aura dans la proposée autant de racines égales qu'il y aura plus de racines imaginaires d'un côté que de l'autre; car les racines égales étant les limites entre les racines réelles et les imaginaires, peuvent être regardées en quelque sorte comme appartenant aux unes ou aux autres.

46. Nous avons vu (41) que, pour que la série soit convergente, il faut que N ne soit pas > ï; on cherchera donc dans chaque cas la plus grande valeur de N, en regardant les quantités \j., v, n,... comme variables, et si elle ne se trouve pas plus grande que l'unité, on en conclura que la série est convergente; sinon elle sera divergente.

Faisons varier seulement [j. et v, et l'on aura

dN . , xv j (. A \ , /. "B

= dv log — - + df, ^log - - . j + dv (tog - -

mais il faut que

p.-t-v-t-7r-l-... = i et ajx -+- bv -+- ctï +. . .= i donc

d[j. -+- dv = o, adjj. + bdv = dv; d'où

dv , dv

ip =

dv= -r-

donc, substituant ces valeurs, et égalant la différentielle rfN à zéro, on aura

d'où i

l'on tire

( av

\" A l xv y

On trouverait de même, en faisant varier p. et n,

XV \ " A [ XV \c G

et ainsi de suite; de sorte que les conditions du maximum ou minimum seront renfermées dans ces équations

xv y a / av y ?. / °<-v Y -

On aura donc, en prenant un coefficient quelconque X,

n = 'AC

eu V — I

donc, substituant ces valeurs dans les équations

y. -t- v + 7ï +. . .= i, \i.a -+- vb + TTC + . . . = V,

on aura

*[A(^)-+b(^)Vc(^)V..] = ,,

d'où l'on tire, en chassant).,

À{.„(;îL)'+,(l-„1(:?L)'+e1«-„(^

équation par laquelle on déterminera v, après quoi on aura

et ensuite ft, v, tt,... par les formules précédentes.

Ainsi l'on pourra toujours, par ce moyen, juger de la convergence ou de la divergence de chaque série.