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SUR LA

( Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, t. XXV, 1771.)

On sait que la force d'un ressort plié s'affaiblit toujours à mesure que le ressort se débande, mais on ignore la loi suivant laquelle se fait cet affaiblissement : or, c'est de cette loi que dépend la figure des fusées que l'on applique aux montres et à la plupart des horloges à ressort, et dont la propriété est de maintenir l'action du ressort dans l'égalité au moyen de la différente grandeur des rayons qui forment la rainure spirale; car, selon que la corde qui se désentortille se trouve appliquée à une plus grande distance de l'axe de la fusée, l'action du ressort devient aussi plus grande, et il faut que cette augmentation compense exactement la diminution de force que le ressort souffre en se déroulant. Dans les ressorts qui agissent en s'allongeant ou en se raccourcissant, il parait que la force est proportionnelle à la quantité dont ils se dilatent ou se contractent, ou du moins à une fonction donnée de cette quantité; mais ce principe n'a pas lieu dans les laines élastiques inextensibles et pliées en spirale telles que celles qu'on applique aux horloges : le seul principe qu'on puisse employer pour ces sortes de ressorts est que la force avec laquelle le ressort résiste à être courbé est toujours proportionnelle à l'angle même de courbure; et c'est d'après ce principe que de très-grands Géomètres ont déterminé la courbe qu'une lame élastique doit former

(*) Lu le 20 septembre 1770.

lorsqu'elle est bandée par des forces quelconques données, Or, voici le Problème qu'il faut résoudre pour pouvoir connaître la loi de la force des ressorts plies :

Une lame à ressort de longueur donnée et fixe par une de ses extrémités étant bandée par des forces quelconques qui agissent sur l'autre extrémité, et qui la retiennent dans une position donnée, déterminer la quantité et la direction de ces forces.

Ce Problème n'a encore été résolu, que je sache, par aucun Géomètre; c'est ce qui m'a déterminé à en faire l'objet de ce Mémoire. La seule restriction que j'y mettrai, c'est que la lame soit uniformément épaisse, et que sa figure primitive et naturelle soit la ligne droite. Ce n'est pas que le calcul ne puisse s'appliquer à des ressorts de figure et d'épaisseur quelconques, mais les équations qu'on aurait seraient trop compliquées pour qu'on en pût tirer quelque lumière.

Le principe ordinaire d'après lequel on résout le Problème de la courbe élastique est, que la force du ressort à chaque point doit être proportionnelle à la somme des moments de toutes les puissances tendantes. Or, quoique ce principe paraisse n'avoir pas besoin de démonstration, cependant, comme un très-grand Géomètre a cru pouvoir le révoquer en doute par cette considération qu'un ressort ne devant être regardé ni comme un corps parfaitement flexible, ni comme un corps absolument inflexible, on ne saurait se former une idée nette des moments des forces tendantes, moments qui, selon lui, ne peuvent avoir lieu que dans des corps absolument inflexibles. Je vais tâcher d'abord d'établir la vérité de ce principe d'une manière aussi simple que rigoureuse.

Imaginons plusieurs verges droites et inflexibles AB, BC, CD, DE,... {fig. i), lesquelles soient jointes l'une à l'autre par des charnières à ressort aux points B, C, D,..., et dont la première BA soit fixée horizontalement au point A, et la dernière EF soit chargée au point F d'un poids quelconque P; on propose de trouver la figure du polygone ABCDEF.

Pour cela, je remarque que, quelle que soit la manière dont le ressort en B agit sur les deux verges AB, BC pour les étendre en ligne droite, on peut toujours substituer à l'action de ce ressort celle d'un autre ressort Ce, qui serait attaché d'un côté au point C de la verge BC et de l'autre au

Fig. i.

point c de la verge AB prolongée en c en sorte que BC = Bc, et qui aurait une force de contraction équivalente à la force du ressort de la charnière B. On pourra de même substituer aux ressorts des autres charnières C, D,... des ressorts Drf, Ee,... qui agissent sur les points D, E,... des verges CD, DE,... et sur les points d, e,... des verges BC, CD,... prolongées en d, e,..., de manière que CD = Cd, DE = De Cela posé,

soit AB = BC = Bc = CD = Cd... = i, et soit F la force du ressort en B, F' en C, F" en D,... ; soit R la force du ressort Ce, R' celle du ressort De/, R" celle du ressort Ee,...; enfin, soit l'angle CBc = s, l'angle DCrf= '/, l'angle EDe = y",..., et a la distance BK du point fixe B à la verticale KP suivant laquelle agit le poids tendant, a la distance CX du point C à la même verticale, a" la distance Dp...... Il est évident que le ressort Ce

agissant obliquement sur les lignes BC, Bc, ne fait sur chacune de ces lignes qu'un effort égal à Rcoso pour les rapprocher l'une de l'autre, et

comme cet effort doit être égal à celui du ressort placé en B, on aura R cossu = F; on prouvera de la même manière qu'on aura R'cos<p' = F', R"c.osç" = F",.... Considérons maintenant les deux verges BC,Bccomme mobiles en B et tirées l'une vers l'autre par le ressort Ce placé entre deux; qu'on prolonge ces deux verges jusqu'à la ligne verticale PK, et qu'on joigne les deux extrémités K et L par un ressort KL qui ait une force dilatative capable de faire équilibre à la force contractive du ressort Ce, il est aisé de prouver que si l'on nomme p la force du ressort KL, on aura (à cause de BC = Bc = i , BK = a et KL perpendiculaire à BK ) pa = Rcoscp; donc, si l'on suppose que la force dilatative p devienne contractive, le ressort KL sera équivalent au ressort Ce, et par conséquent aussi au ressort de la charnière B, pourvu que la force p soit telle que

pa = Rcoso = F.

On peut prouver-de même que l'on peut substituer au ressort Do? un autre ressort ML qui agisse aux extrémités M et L des verges BC, CD prolongées jusqu'à la verticale PK, et que la force de ce ressort que je dénoterai par p' devra être déterminée par l'équation

■ p'a' = R! cos cp' = F' .

Nommant pareillement p" la force d'un ressort qu'on imaginerait placé aux extrémités M et N des verges prolongées CD, DE, et qui serait équivalent au ressort Ee, on trouverait l'équation

p"a" = R" cos cp" = F",

et ainsi de suite. On aura donc par ce moyen un assemblage de verges AK, BL, CM, DN,... dont la première est fixe en A, et dont les autres sont mobiles autour des points B, C, D,..., et dont les extrémités K, L, M, N,... sont unies par des ressorts KL, LM, MN,... disposés en ligne droite, et qui sont en équilibre tant entre eux qu'avec le poids P. Or il est visible que cet équilibre ne saurait subsister à moins que les forces p, p', p",... des ressorts ne soient égales entre elles et égales aussi à la force du poids P; c'est pourquoi on aura nécessairement p = P, 9' = P, P" = P, . . . ,

donc

F — aP, F — a'P, F" = a"P,...,

c'est-à-dire que les forces des ressorts qui agissent à chacun des angles du polygone ABCD... doivent être proportionnelles aux moments du poids tendant par rapport à chacun de ces angles.

S'il y avait plusieurs puissances tendantes, alors on démontrerait par un raisonnement semblable que le ressort à chaque angle du polygone devrait être proportionnel à la somme des moments de toutes les puissances. Supposons maintenant que les verges qui forment le polygone élastique deviennent infiniment petites et que leur nombre augmente à l'infini, il est clair que le polygone se changera en une courbe continue, et que l'on aura le cas d'une lame élastique pliée, dans laquelle il faudra par conséquent que l'action du ressort à chaque point soit proportionnelle à la somme des moments des forces tendantes par rapport à ce point, comme on l'a toujours supposé.

A l'égard de l'action du ressort, c'est-à-dire de la force avec laquelle il tend à se débander, on convient généralement qu'elle est en raison de l'angle de courbure, c'est-à-dire en raison inverse du rayon osculateur; ainsi il faudra que la somme des moments des forces tendantes par rapport à chaque point de la courbe élastique soit réciproquement proportionnelle au rayon osculateur lorsque l'élasticité absolue est partout la même, et lorsque l'élasticité est variable, il faudra que la somme des moments dont il s'agit soit en raison directe de l'élasticité absolue et en raison inverse du rayon osculateur.

Soit donc ABC {fig. 2) une lame élastique fixée par une de ses extrémités C, et courbée par des puissances quelconques qui agissent sur l'autre extrémité A. Ayant tiré par ce point A la tangente PAN, et par un point quelconque B de la courbe l'ordonnée BM, perpendiculaire à la droite AN, que nous prendrons pour l'axe des abscisses, on fera AM = x, MB = y, l'arc AB égal à s, le rayon de courbure en B égal à p, l'angle que

la tangente en B fait avec la tangente AN, c'est-à-dire l' amplitude de l'arc AB, égal à tp, l'abscisse AN égale à a, l'ordonnée CN égale à b,

Fig. 2.

l'arc AG, c'est-à-dire la longueur de la lame, égal à /, et l'angle que la tangente en C fait avec AN, c'est-à-dire l'amplitude totale de l'arc AG, égal à m; on aura

dy = sin 9 ds, dx = cos 9 ds,

dw;

par conséquent

- I sin 9 ds, x = / cos

ces intégrales étant prises de manière qu'elles soient nulles lorsque 9 = 0. Cela posé, on peut réduire, en général, toutes les forces qui agissentau point A à deux forces uniques dont l'une, que j'appellerai P, agisse suivant la direction AP, et l'autre, que j'appellerai Q, agisse suivant AQ perpendiculaire à AP; or, il est clair que la force P donne, par rapport au point B, le moment Pj, et que la force Q donne, par rapport au même point, le moment Qx; donc on aura, par la nature de la courbe élastique (paragraphe précédent), l'équation

2K2 étant un coefficient constant qui dépend de l'élasticité absolue de la

Substituons dans cette équation à la place de x, y et p leurs valeurs en f, nous aurons

;K2û?cp

I sincpr/s -t- Q / cos 9 ds

où l'on remarquei'a qu'en faisant <p = o, on aura

i sincp ds= o, | coscp ds = o,

et par conséquent aussi

Différentions maintenant cette équation en prenant cfr constant, et l'on aura celle-ci

P sin © + Q cos cp = — , 2 T )

laquelle, étant multipliée par d(p et ensuite intégrée, donnera

L — P COS9 -(- Q sintp = - — T~-t

C étant une constante arbitraire qu'on déterminera par la condition qu'en taisant 9 = 0, on ait -^ = o; c'est pourquoi on aura

On aura donc

et de là

Kdw

dy = dx —

JP-

- Pcostp^H- Q sincp Ksinco d®

- P coscp -t- Q sincp K coscp dw

v'P — P coscp -+- Qsinc

Maintenant, si l'on pouvait intégrer ces trois équations, il est évident qu'en faisant, après l'intégration, s = /, a; = a, y = b et <p = m, on aurait trois équations par lesquelles on pourrait déterminer les forces P, Q et l'amplitude m, les quantités /, a et b étant données, et le Problème serait résolu; mais il est aisé de voir que l'intégration dont il s'agit dépend en général de la rectification des sections coniques, et qu'ainsi elle échappe à toutes les méthodes connues.

Il y a cependant un cas où l'intégration réussit, c'est celui où Q = o; nous allons l'examiner dans le paragraphe suivant.

Supposons Q = o, en sorte que la lame AC ne soit tirée au point A que par la force P, suivant la direction de la tangente AP; on aura, dans

ce cas.

K do

as = — T -«

\/P \Ji— cosç

, K sinoc?c9

dx =

y/P \Ji— coscp K cosoda

v/P y/i — coscp

Faisons, pour plus de simplicité, — =- =/, et mettons 2z à la place

de <p; on aura, à cause de cos2s = 1 — 2 sin2z, sin2z = 2 sinz cosz, on aura, dis-je,

ds = 4* ,

sinz

dy = ifcosz dz,

dx = —. 1 f sin z dz,

sinz J

d'où l'on tire par l'intégration

cosz y = 2ysinz + B,

x = s -4- if cos z -+■ C,

A, B, C étant des constantes qui doivent être déterminées en sorte que s, x et y soient nuls lorsque z = o; ce qui donnera B = o, C— — 2/ et A = — / log o, c'est-à-dire A = ce .

D'où l'on voit que ce cas ne saurait avoir lieu à moins que l'angle z ne soit intiniment petit, pour que l'arc s puisse être fini ; de sorte que la courbure de la lame sera infiniment petite.

Or, puisque Q = o donne <p = o, il est clair que Q très-petit donnera

aussi cp très-petit; donc, faisant (û — Qu et supposant Q très-petit, les

et coso = i > a tres-peu près,

Kdu

sju-

dy -

QKf

idu