PROBLÈME DE KEPLER

( Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin , t. XXV ', 1771.)

Ce Problème consiste, comme on sait, à couper l'aire elliptique en raison donnée, et sert principalement à déterminer l'anomalie vraie des planètes par leur anomalie moyenne. Depuis Kepler, qui a le premier essayé de le résoudre, plusieurs savants Géomètres s'y sont appliqués et en ont donné différentes solutions qu'on peut ranger dans trois classes. Les unes sont simplement arithmétiques et sont fondées sur la règle de fausse position : ce sont celles dont les Astronomes se servent ordinairement dans le calcul des éléments des planètes; les autres sont géométriques ou mécaniques, et dépendent de l'intersection des courbes : celles-ci sont plutôt de simple curiosité que d'usage dans l'Astronomie; la troisième classe enfin comprend les solutions algébriques, qui donnent l'expression analytique de l'anomalie vraie par l'anomalie moyenne, aussi bien que celle du rayon vecteur de l'orbite, expressions qui sont d'un usage continuel et indispensable dans la théorie des perturbations des corps célestes.

L'équation, par laquelle on doit déterminer la relation qui a lieu entre l'anomalie moyenne et l'anomalie vraie, est transcendante et ne peut par conséquent être résolue que par approximation, de sorte qu'on est obligé d'avoir recours aux suites infinies : or on ne peut déterminer di-

(*) Lu à l'Académie le 1" novembre 1770.

rectement que l'anomalie moyenne par l'anomalie vraie; et pour avoir l'expression de celle-ci par le moyen de celle-là, il faut employer la méthode du retour des suites, qui est non-seulement longue et pénible, mais qui a aussi l'inconvénient de donner des séries irrégulières où l'on ne saurait connaître la loi des termes. J'ai donné, dans un Mémoire imprimé dans le volume de l'année 1768 (*), une méthode particulière pour résoudre, par le moyen des séries, toutes les équations, soit algébriques ou transcendantes; comme cette méthode joint à l'avantage de la facilité et de la simplicité du calcul celui de donner toujours des séries régulières et dont le ternie général soit connu, j'ai cru qu'il ne serait pas inutile' d'en faire l'application au fameux Problème de Kepler, et de fournir par là aux Astronomes des formules plus générales que celles qu'ils ont eues jusqu'à présent pour la solution de ce Problème : c'est là l'objet du présent Mémoire

Soit ABD une demi-ellipse dont le grand axe AD est égal à 2a, le demipetit axe CB égal à ma, la demi-excentricité CF égale à na = a\li —m2,

en sorte que n = \/i — m2; soit de plus le rayon vecteur FL égal à ar, l'angle de l'anomalie vraie DFL égal à u, le rapport de l'aire entière de l'ellipse à l'aire DFL comme l'angle de quatre droits, que je nomme sr, à l'angle t qui sera par conséquent l'angle de l'anomalie moyenne; il s'agit de déterminer tant r que u par t.

Pour cela on décrira sur le grand axe AD le demi-cercle AED, et ayant

(*) OEiwres de Lagrange, t. III, p. 5.

mené par le point L la droite NLM perpendiculaire à AD, et tiré par N les droites NF et NC, on considérera que par la nature de l'ellipse l'aire elliptique DFL a à l'aire DFN la même proportion que l'aire entière de

l'ellipse a à l'aire entière du cercle, laquelle est de sorte qu'on aura'

aussi

et par conséquent

2 DFN

ci'

Or, nommant x l'angle DCN qu'on appelle, d'après Kepler, X anomalie de l 'excentrique, on aura

CM = «cos.r, MN = «sin^? et ML = masin.r; donc

I)FN = DCN + FCN = DCN+FCXMN = ^ + ^-S^,

t = x -+- n sina;.

Maintenant on aura

FL = «r— y FM -t-ML = a J(n + cosar)2-f- m2sin2x, et, à cause de m2 = i — ir.

sin u

ar—- a y'i + 9.B cos# -r- n2cos2x = «(i -t- n cos.a?) ;

donc

r= i -+- n cos.r.

De là on aura

donc ou bien '

LF i -+- n cos.r FM «-t-cosa;

cosu —

i -I- cos u i h- n

Si l'on voulait avoir l'expression de l'angle u, on différentierait cette équation, ce qui donnerait

du m dx

ou bien

i * I H— Ç.QSJC

et, substituant pour i -t- co&u sa valeur fi + n) — > on aurait

du :

I H- 71 cosx

idx

i -l- n cosx Ainsi l'on aura d'abord x en z, et ensuite r et u en x.

Il faut donc commencer par tirer la valeur de x de l'équation

t = x -+- «sinj7,

ce qui ne peut se faire que par approximation; or, de toutes les méthodes connues d'approximation, je crois que la plus simple et la plus générale est celle que j'ai exposée dans mon Mémoire sur la résolution des équations littérales. J'ai prouvé dans ce Mémoire que si l'on a une équation quelconque, telle que

a. — x -t- cp (x) = o

[<p (x) dénotant une fonction quelconque dex], et qu'on veuille avoir la valeur d'une autre fonction quelconque de x, telle que ty{x), faisant

— ~ — = <|/(a?), la série

ty(x) + <p(x)Mx) + - Ji +^3 dx> +---

exprimera la fonction cherchée, en y mettant après les différentiations « à la place de x. D'où il suit qu'ayant l'équation

on trouvera

t[<p(OT(Q > d'[<f{t)]*y(t) ,

dt 2.3 c(f2

Ainsi, faisant y (x) = nsina?, notre équation

t = x ■+■ n s\x\x donnera sur-le-champ

«2 ds\vC-t^\t) n3 d2sin3t <\>'(t)

<\i i x) = 4» ( t ) — n sin t 1]/( f ) +

fifr 2.3 tffs

de sorte qu'il n'y aura plus qu'à exécuter les différentiations indiquées en prenant dt constant.

Supposons premièrement ty(ac) — x pour avoir la valeur de œ en /. et l'on aura ty(t) = t, ty'(t) — r, et par conséquent

n2 dsin'-t n? d-iivpt

x — t—n sin t h -t- =■ — -t- 1-

2 dt 2.3 dt2

Pour pouvoir trouver facilement les valeurs des différentielles des puissances de s'mt, il sera à propos de réduire ces puissances en simples sinus ou cosinus d'angles multiples de t. Or on sait que

4 sin3 t = 3 sin t — sin 3 t,