COS2/ — 4( C0S

ne 15. 4

cos/ — 5.35.cos3i H- 55 cos5< 26 cos2< — 6. 46. cos 4' + 6'; eos6?

Les séries que nous venons de trouver dans les Articles précédents sont ordonnées par rapport aux puissances de l'excentricité n\ or, comme leur loi est assez claire, il ne serait pas difficile de les ordonner par rapport aux sinus ou cosinus des angles multiples de t, ainsi qu'on le pratique communément; cependant, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, je vais donner ici d'autres séries équivalentes à celles-là, et disposées de cette dernière manière.

Pour y parvenir je remarque (comme je l'ai déjà fait dans le .Mémoire cité, n° 17) que, si l'on prend la fraction

z'[i'-+-a<pCO]' qu'on la développe suivant les puissances de z, ce qui donne

xi£i y{t)y {t)-+ z[y{t)Yy {t) — za[cp(*)]3i]/(0-K--.

, i Ci 1 d 1 '/' . ■ ■ 1

et ciu ensuite on change- en dt, z en - -7-1 :-- en — r -rr.---' et ainsi des

1 ° 3 J 1 Ut 2.3 (I /■

autres puissances de z, on aura la valeur de la fonction d> {x) { Article II ).

DE KEPLER. Ii5

Supposons que les fonctions <p (t) et <b{t) soient exprimées par des sinus et des cosinus de t, il est facile de voir qu'en employant les exponentielles imaginaires, on pourra toujours développer la fraction

en une série de cette forme

z [ i -+- z cp ( t !

où les coefficients M, M', M",..., N', N", ... seront des fonctions de z. Donc, dès qu'on aura développé ces coefficients suivant les puissances de z, il n'y aura qu'à mettre, dans M, t à la place de -■> et zéro à la place

de z, z2, ... ; dans M', -=U à la place de -, ^=- à la place de z, ^~') v/— i ' 3 2 2-3

à la place de z'2, ,, ; à la place de s3, ... ; dans M", — = à la place 2.3.4 [ 2V/-I

de -, — — à la place de z, — ^ „ à la place de z2, ... ; et en général

dans M1''', — = à la place de -, — — à la place de z, ., ' à la

ry/, -1 3 2 ' 2.3

place de z2,...: on fera les mêmes substitutions dans N', N", . . . , W\ mais en prenant \/ — 1 avec le signe — ; et nommant P, P', P", P", . . . les quantités dans lesquelles se changeront les coefficients M, M', M",..., et Q', Q", Q'",... celles dans lesquelles se changeront les coefficients N'. N", N'",..., on aura pour la valeur.de <l> (x) cette expression

laquelle se réduira facilement à une série de sinus ou cosinus d'angles multiples de t.

Soit, comme plus haut, y (t) = nsinl, et la fraction qu'il s'agira de développer, pour avoir la valeur de <{/ (as), sera

z(i + nzsint)

Or, comme

et\l-\ e-'sf^i sinf = — 1

cette fraction peut se partager en celles-ci

p-hqe'^—' p — qe~'^~r' en faisant

p1 — q'=i, pq— — ^=> a(/?2— g2)-!-2/>(3 = i, a/>g H- |3 g = o ;

d'où l'on tire

p — q \J—i = \/i—nz, et par conséquent

i/i + nz -t- i/i — nz P=~ ~ '

Ji-hnz — Ji — nz

Maintenant on aura

p-hqe'^-i P P' P P

et de même

i i jr'*'-1 q2e~"v'-' qie~3'y^'

donc la fraction — — , deviendra

i -+- nz sin t

p>+tf\ p p- p'

où l'on aura

p> -+- q2=z sJ\ — n2z1,

s] i -i- nz — y/ 1 — nz

p (y/i -+- nz -+- \j\ — nz) \j—i \ + \J\ — n2z' \J- De sorte que si l'on fait, pour abréger,

i + \J\ — ri'i et qu'on remarque que

i dZ i

1 dz z v/, M2

n- Z , ,— re3 Z2 , , /— ;

yCï H e'ty-* — , ... «3'v~' +..

3(i + nzsin0 «te \^Z V/I f^/ , )2 (v/

et il ne s'agira plus que de développer, suivant les puissances de s, les