III
Donc, substituant pour ^ -^, -£, Z^J, ■ •• les valeurs trouvées dans le
même Article, et faisant les réductions enseignées dans l'Article VIII,
t = (e'v-> — e-'v-'J h — = (e2^-i g-'W-ij
ou bien
x=t-v(-)A'smt + 4-Xk"sM?t-2(-Y\msin3t-h2[-) A"sin4i-...
où les coefficients A', A", . . . seront déterminés ainsi
23 5.6 /nN
•'est-à-dire, en taisant - = v,
Pour avoir de la même manière la valeur du rayon vecteur ar = a ii -h n cos.r), on fera, comme dans l'Article IV,
ty{ t) = ncost et <\j'(t)= — resinf,
d'où l'on aura la fraction
— ns'mt
z(i -t- riz s'mt) laquelle peut se réduire à ces deux-ci
z- z2(i + nz sint)
de sorte qu'on aura (Article IX) une série de cette forme
M -I- M'e'^' 4- M"e>"J~< + W'e3'^' -h . . . + N'e-'v^ -f- We--W-< -t- N"'e-3V-> + ...', dans laquelle
1 dZ i .., n dZ ri1! dZ
Zz dz z2 aj—ndz z(j—i) dz
K. »' jg N„= re2Z a?Z
Donc, substituant les valeurs de ^- -t-j --j->--- en s et faisant les
Zz dz z dz
réductions convenables (Article VIII), on aura, pour la valeur de r, la série
ou bien
r= B -h 2 (-) Wcost - 2 (-V B'cosa
B'"cos3^ — 2 (- ) B,vcos4/ + ..
dans laquelle on aura les valeurs suivantes des coefficients
n\2 i 4-5 /reV '
ou bien, en faisant - = v,
B = 1 + iv\
2 2.3.4 2!.3.4-5 22.3'.4-5.6 42 6.4'.v2 8.4';-,-'i io^'-y"
B,v= — rr
xn.
Voyons maintenant comment on pourra trouver, par la même méthode, la valeur de l'angle u de l'anomalie vraie; pour cela il faudra faire, comme dans l'Article VI,
ty{t) = m
r dt ,. n,
I et d/U) = —
J I + Il COS t I + M
cos/
ce qui donnera (Article VIII) la fraction suivante
z ( i + nz sin i ) ( i -+- n cos t ; Or on a déjà trouvé (Article IX)
dz r i ii i— «2z ., i—
+ rezsinO dz \Z ^ , f^—,)2
et l'on trouvera, de la même manière, en mettant m à la place de y'r — n'2,
i + n cos t m . | i + m ( i + m )2
Donc, multipliant ces deux séries l'une par l'autre, on aura la valeur de la fraction
2(1 -+- nz sint) (1 -t- ncost)
laquelle sera exprimée de cette manière
M + M'eV^" + M'Vv^ï , M'Vv'3' -i- . . . + N'e-'^1+N"e"v'1 +N'"e-3'V-1 + . . .,
en supposant, pour abréger,
1 (iZf m'Z2 11e Z4 | T
~zdz[l (I + m)2(v/Z7)2 (I + TO)4(^zi7)« "J'
X=zTz\-T^
«2Z re'Z2 ra6Z3
;n-/n)2N/— 1 (j-f-m)-^^-,)2 {l + my(^i
n- dZ Z dz
7*2Z3 «4ZS
' ~Zdz[ (i-f-
7i2Z n'Z2 te6Z3
ri'Z*
y/— i (i + m)(y/— i)2 (v/— i /i<Z5 rtcZ6
(i + w)(v/— ij4 (i + mnv/— i n2Z 7isZ2
nsZ3
« o?Z Z dz
re2Z2
y/— i (n-m)(v/-ij'2 (H-m)2(y/-i)3
itfZ-
«2 rfz r i
(i + mf(^)! (n-77i)4(v/ Z Z2
«6ZS
(1+771) (v^)* (i + m)2(v/-i)< (H-m)3(N/-iJb
(i-f-m)3^^ (i + mYif^Y (i + 7n)5(v,=T)3
^ rfz r r Z Z2^ Z3
~Zdz[ (n-m)3 (I + m)2s/I~[" (n-^-^^/ZrT)2 (y/— Vf
7i2Zs 7i4Z5 n6Z"
(1 + 771) (y/ — 0* (i + m)2(v/— ijb (n-m)3(v/— 0 re2Z «<Z2 «6Z:
(i + m)< y/— i (i + mH^-i)' (i-bm)6(v/
Faisant les substitutions et les réductions convenables (Article VIII), on trouvera, pour la valeur de l'anomalie vraie u, une expression de cette forme
v/-i c'est-à-dire,
u-= t — a«K' sin/ + 2«2 K" siii2f — 2713 K'"sin3? -t- in* Klv sin4' — • ■ • ,
dans laquelle les coefficients K', K", K'", . . . seront tels, que si l'on fait, en général,
p- (n\- p4 I n\* pu (n\s
