SUR

(Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, t. XXV, 1771.)

Lorsqu'on a deux équations qui renferment la même inconnue élevée à des degrés quelconques, on peut toujours, par les règles ordinaires de l'Algèbre, éliminer cette inconnue; mais on risque de tomber dans un inconvénient : c'est que l'équation résultante de l'élimination monte à un degré plus élevé qu'elle ne doit. Plusieurs habiles Géomètres ont senti cet inconvénient et ont donné des moyens de l'éviter; c'est ce que MM. Euler, Cramer, Bezout et d'autres ont fait par des méthodes qui leur sont propres, et qu'on peut voir dans les Mémoires de cette Académie pour les années 1748 et 1764, dans ceux de l'Académie des Sciences de Paris pour l'année 1764, dans l'Ouvrage de M. Cramer qui a pour titre : Introduction à l'analyse des lignes courbes, et ailleurs.

La méthode que je vais exposer ici a l'avantage de réduire l'élimination des inconnues à des formules générales et très-simples dont les Analystes pourront faire usage au besoin.

(*) Lu à l'Académie le 29 octobre 1767.

Soienl

(Ai i -+- Ax -\-Bx2 -f-Cr3 + D*' + . . . = o,

les deux équations proposées, dont la première soit d'un degré quelconque m, et la seconde aussi d'un degré quelconque n. Il est évident que quelles que soient les équations données elles peuvent toujours se mettre sous les deux formes précédentes; car pour cela il n'y a qu'à les diviser, l'une par le coefficient tout connu du dernier terme, et l'autre par la plus haute puissance de l'inconnue.

Je suppose que i — ax, \ — fix, i — yx, i — dx,... soient les f'ac-

leurs de I équation A , en sorte que -■, -=■, -> -•>•■■ soient les racines n ^ x p y o

de cette équation; j'aurai donc

i -+- A x -t- B x1 -+■ Cr3 -+- D xA -+- . . . = ( i — xx){\ — (3x)(i — yx){i — Sx). . .,

et, prenant les logarithmes de part et d'autre,

log(i -+- kx -+- Bx- -t- Cx" -+- Dx' +. . .)

= Iog( i — xx) -+- log(i — fix) -+- log(i — yx) -+- log(i — Sx) -h. . .

Or on sait que

log

donc on aura aussi

x ( A -I- Bx -t- Cx* ■+- Dx7 + . . . ) \ / — x ( x -+■ (3 H- y -+- 6 -t- . - — (A +Bx +Cx-+ Dx3-h. . .)2 1 1 (ï!+(3!+)i! + o- + .

+ ^(A + Bx + Cx- + Dx3 -t- . . . )3 l J — -- ( a3 -I- (33 -f- y3 -+- ô;l + .

On sait de plus que le carré, le cube, etc., de tout polynôme, tel que A + Ba;-i-C;r2-f-.. ., est aussi un polynôme de la même forme, mais dont le nombre des termes est double, triple, etc., de sorte qu'on peut supposer

A + B* -t-Cx2+D#3 + ...)2 = A' + B'ar + C'.x'''-l-D'.2.'3-4-

A + Bz + O- + Bx3 -+- . . -Y = A" -H B"x + C"x2 -+- T)"x3 -+-

et ainsi de suite, les coefficients. A', B', C, . . . , A", B", C", . . . étant aisés à trouver par la formation actuelle de ces puissances ou par d'autres moyens que nous indiquerons dans la suite.

Donc, si l'on substitue ces valeurs et qu'on fasse, pour abréger,

on aura, en ordonnant les termes par rapport aux dimensions de x

= Px + Q^!+K x3 -+- Sx* + . . . , d'où l'on tire, à cause que l'équation doit être identique. P =A,

Cela posé, je substitue successivement dans l'équation (Bj les valeurs de x résultant de l'équation (A), savoir -■> „> -■>••-, dont le nombre

(jst m; j'aurai les m équations suivantes

i + ac -+- ba? -t- coi3 -+- de' 4- . . . = o,

i + «(3 + 6(3- + c|33-h dfi* + . . . = o, i + ay -+- by' -+- cy3 -t- dy> ■+- . . . = o,

Or il est clair que, pour que les deux équations (A) et (B) aient lieu en même temps, il faut nécessairement qu'une quelconque des m équations (C) ait lieu; donc, comme il n'y a pas de raison pour que l'une de ces équations doive plutôt avoir lieu que l'autre, il faudra que l'on ait une équation qui renferme toutes les équations (C) et qui ne puisse être vraie qu'en supposant que l'une quelconque de ces dernières équations le soit; d'où il s'ensuit que l'équation dont il s'agit ne saurait être que le produit de toutes les équations (C), et cette équation sera par conséquent celle qui doit résulter de l'élimination de l'inconnue x dans les deux équations proposées (A) et (B).

Donc, si l'on représente l'équation dont nous parlons par II — -o, on a Lira

II = ( i -+- aot -+- bo?.+ cot? -+- da.i -H . . . )

X(i -+- «(3 -f- bp- -+- c|33-f- f/(3s +. . .)

X ( J -l- ay -f- by -h cy3 -+- dy\ + . . . )

X (i 4- aè -t- bê2 -+- ce3 -+- dè< -4- . . . )

le nombre des facteurs étant m. Ainsi la difficulté se réduit à trouver la

valeur de II sans connaître les racines a, fi, y,

Prenons les logarithmes des deux membres, et nous aurons

logll = log(i -+- a-j. -h b.a?-\- ccâ -+- dx( ■+- . . . ) -+- log(i -+- «(3 + bp-h c(33 H- dfi'-h. . .) -I- log.(i -+- ay -h by- -h cy3 -+- dyi -+-...) -4- logi i -t- «<5 -t- bà2 ■+- ce3 -+- dèi -+- . . .)

Mais on a

logd + aa ■+ ba2-h ca'+ doc' -+- . . . )

= a (a -+- ba -+- ca2 + dot? + . . .)

a2 . , (a -t- bot. -h ca.2 -h da3 + . . .)

a3 + -^ {a -+- ba. -h ca2 -\- doc3 -h. . .)

Donc, si l'on suppose que a, b', c' ,..., a", b", c",... soient des quantités formées de a, b, c,..., comme les quantités A', B', C',..., A", B", C",... le sont de A, B, C,..., on aura

log(i +«a+ ba2 + ca3 -h . . .)

= a (a + ba -\- ca2 + doc3 -+- . . .)

( a' -+■ b'tx + c'a2 -h d'à3 -+- . . . )

ou bien en faisant, pour abréger,

on aura

log(i + aa -+- ba2 -+- ca3 -+- da' -4- . . .) = pa -+■ qa2 -+- ra3 -+- sa' -h ... .

On trouvera de la même manière

log(i ■+■ a$ -h bp-h cp -h dp + . . .)=/?(3 + g[3I + r(33 + *(3< + . log(i + ay + by2 -+- cy3 -+- dy' -+- . . . ) = py + qy' 4- ry3 -+- sy' -t-. . . ,

et ainsi des autres.