III
Donc, ajoutant ensemble toutes ces quantités, et mettant à la place de
a -+- jS -t- y -+- . . . , or -+- 132 -t- y2 + . . . , a3 + |33 -f- y3 + . . . , les quantités — P, — 2Q, — 3R,..., on aura
logII = — pP— iqQ- 3/-R —
Soit encore, pour abréger,
©=:^P-(-2gQ + 3rR+..., et l'on aura
logII = — 9, d'où II = e— P,
et résolvant en série la quantité exponentielle e f, il viendra enfin
n = i-cp + ^-^+.... ■ T 2 2.3
Ainsi le Problème est résolu.
Comme la quantité II est le produit de m facteurs tels que
i-\-aa + bx--h eoc'-f- ..., 1 + «(3 -f- fe (32 -t- c(33 + ..., r + ay -h by2-t- cy'-h ...,
il est visible qu'elle ne peut contenir d'autres produits des quantités a, b, c,... que ceux dont les dimensions ne passent pas le nombre m; d'où il s'ensuit:
i° Que l'équation II =0, ou bien
ne doit contenir aucun terme dans lequel les quantités a, b, c,... forment ensemble des produits de plus de m dimensions.
Or, si l'on met - au lieu de x dans les équations (B) et (Aj, elles de-
viennent celles-ci
1 H- ax ->,- bx2 -t- cxz -t- dx1 -+- . . . = o,
lesquelles ne diffèrent des équations (A) et (B) qu'en ce que les coefficients A, B, C,... sont changés en a, b, c,... et l'exposant m en n, et vice versa; donc, si l'on fait sur ces équations les mêmes raisonnements et les mêmes opérations que nous avons faites sur les équations (A) et (B), on parviendra à une équation finale qui sera la même que l'équation (D) ci-dessus, à la seule différence près que «, b, c,... seront au lieu de A, B, C,..., et réciproquement; et l'on prouvera de même, à l'égard de cette équation, que les quantités A, B, G,... ne sauraient former ensemble des produits de plus de n dimensions.
Or, en changeant A, B, C,... en a, b, c,..., on ne fait que changer P, Q, R,... en/?, q, /%..., et vice versa, comme on le voit par les expressions de ces quantités: donc, comme
il s'ensuit que l'équation finale dont il s'agit sera exactement la même que l'équation (D); d'où je conclus :
20 Que l'équation
ne doit pas non plus contenir aucun terme où les quantités A, B, C,... se trouvent formant ensemble des produits de plus de n dimensions.
Voici donc à quoi se réduit notre méthode d'élimination. Étant proposées les équations
i -+- Ai -\-Bx--i-Cx3-t-'Dx>+ . . .— o,
dont la première soit du degré m, et la seconde du degré n, on commencera par former les quantités A', B', C, D',..., A", B", C", D",..., A'", B'",
C", D" lesquelles sont les coefficients des séries qui expriment le
carré, le cube, la quatrième puissance, etc., de la série
A -hBx-hCx2-h~Dx3-h.. .,
et l'on poussera cette opération jusqu'à la nieme puissance. On formera ensuite de la même manière les quantités a', b' , c', </',..., a", b", c", d",..., a'", b'", c'", d'",... jusqu'à la puissance m; et pour cela il suffira de changer, dans les valeurs correspondantes de A', B', C, . . . , A", B", C", . . . , les quantités A, B, C, D,... en a, b, c, d,.... Ayant ainsi toutes ces quantités, on les substituera dans la quantité
T-TAd" + T
et l'on fera ensuite l'équation
cp3 <p*
en observant de rejeter tous les termes qui contiendraient des produits de A, B, C,... de plus de n dimensions, ou des produits de a, b, c,... de plus de m dimensions; on aura, par ce moyen, l'équation qui résulte de l'élimination de l'inconnue x dans les deux équations proposées.
A l'égard des coefficients A', B', C',..., A", B", C",..., on doit les déterminer à l'ordinaire par la formation des différentes puissances de A-+-B#4- Ccc2-h...; mais, comme le calcul des puissances fort hautes serait assez laborieux, on peut l'abréger par la formule suivante, dont la démonstration se tire du calcul différentiel.
Soit, en général,
(A 4- Bx -+- Cx2 + Bxs + Ex" -+- . . .)" = P-hQx -t- Rr + Sx3 + Tx" + . . .,
on aur
v (n-i)BQ + 2«CP
(n — a)BR-)-(a«— i)CQ + 3«DP
T ( n — 3 ) BS -+- ( 2 n — i ) CR + ( 3 n — i ) DQ -t- 4 «EP
et il est très-aisé de voir la loi de celte série, et de la continuel' autant qu'on voudra.
Si l'on ne voulait pas faire dépendre les coefficients P, Q, R,... les uns des autres, on pourrait les déterminer immédiatement de la manière suivante.
Qu'on cherche, par exemple, le coefficient de xm dans la puissance n
du polynôme
A -+- Bx -4- Cx' -t- Dj! -+- . . . ,
je dis :
i° Que ce coefficient sera formé de tous les termes qui peuvent être représentés par A^B^CD*..., p, q, r, s,... étant des nombres entiers positifs, et tels que
p -I- q -h r -\- s + . . .= n et ç( + 2r+3.s+... = /M;
2° Que chacun de ses termes aura pour coefficient numérique
La démonstration de ce théorème est aisée à tirer de la théorie des combinaisons, et nous ne croyons pas devoir nous y arrêter.
Exemple I. — Que l'on ait à éliminer x des deux équations
i tAx + B^!=o,
on trouvera, en faisant le carré de A -+-Ba?,
A'=A2, B'=2ÂB, C'=B2,
et de même
a'=al, b'=iab, c' = b'2,
donc
o = A« + 2 (b — — \ (b - -) + 3ABa6-l-B262
= Aa4-2B6- A2è- Ba2+^ 4- 3AB«6 ■+■ B262.
Donc, en négligeant les produits de A et B, aussi bien que ceux de a et b, qui seraient de plus de deux dimensions, on aura
q,2=z A2a2 + 4AB«/> -i- 4B26%
Substituant donc ces valeurs dans l'équation
on aura
i— As- 2B6-)-A26-+-Ba2— ABab + B1//'
Au reste, on peut encore trouver la valeur de <j> d'une manière plus simple sans être obligé de calculer les quantités A', B',C'..., A",B", C", — Pour cela, on remarquera que
de sorte que la difficulté se réduit à trouver les quantités P, Q, R, . . .
etp, q, r
Or il est facile de voir par l'Article 1 que
log(i -i- Xx 4- Bx- -h Cx3-i-. . .) = Px -+- Qx2+ Kx3 + Sx4 + . . . .
Qu'on différentie cette équation en faisant variera?, et l'on aura, après avoir divisé par dx,
A 4- iBx 4- 3Ca?J4-. . . „
— 77 — r-5"^ r"^ = P + aQ* -i- 3R^' 4- 4S*3 4- . . . .
Donc, multipliant en croix et comparant les termes, on aura
