Exemple III. — Soit l'équation

a — bx — x" = o :

donc

et toutes les autres quantités nulles; donc

iii Ib

' 6 \ '"-" m (m— -in + i} I b\ "'--" a \a) ia? \a)

m(m — 4 w + 3) (»i — 4» + 2) (w — 4 « + 1 J (b\m-tH 2 . 3 . 4 • a4

jusqu'à ce qu'on arrive à des puissances négatives de -

7. Au reste, quoique nous n'avons donné que la formule qui exprime

la somme des puissances niim" des quantités --, -■> -,••• (p,q, /•,... étant

les racines d'une équation quelconque donnée), il est facile d'avoir aussi l'expression de la somme des puissances n'e""" des racines mêmes p, q, r, ...; pour cela il n'y aura qu'à changer les racines de l'équation proposée en leurs réciproques, en écrivant — à. la place de x; car, nommant p', q ', r',... les racines de l'équation transformée, on aura

Puisque (3j

—r +■ T7 + ~iz + ■ • ■ = P'" + <]'" + >"" -+- ■ p" q ' r'" ' '

X = OCX7 -+- X, X3 + . . . ,

il est clair que si l'on fait oc = — , et qu'on nomme Y la fonction de y dans laquelle X se changera, on aura

Y ym aym-l j x< y.m-3 (,.. j

dHY3r

dr-

(m — 4) (m — 5) yj-"-e + ( m — 5 ) ( m — 6) y, y'"-1 +

D'où il s'ensuit qu'on peut mettre la formule du numéro cité sous cette forme

m \p"' q'" r'" " ' I m 2 dy n. . 3 d y2

pourvu qu'on y substitue, après les différentiations, - à la place de y, et qu'on ait soin de rejeter tous les termes qui contiendraient des puissances négatives de y ou de -, comme nous l'avons pratiqué dans les

Exemples précédents. De cette manière on pourra très-facilement trouver la somme des racines d'une équation quelconque élevées à telle puissance qu'on voudra.

§ IL — De la manière de trouver par les séries la racine d'une équation quelconque.