V=;7AC!+7B2C
W=8BC2; donc on aura
<p = Aa H — (2B — A') [ib — a1)
+ |(3C — 3AB-4-A3)(3c — 3âb -h as)
-+- y(— 4AC — 2B2H-4A2B)(— 4ac- 2 62 + 4«2è)
+ l ( — 5BC -+- 5A2C -f- 5AB2) ( — 56e + 5«2e -4- 5«62)
+ tt (— 3C2+ 12 ABC -f- 2B3)(— 3c2-+- i2a6c-i- 26") b
-(- -(7AO + 7B2C)(7ac2-i- ']b2c)
+ i8BC2x86c2.
Or, en rejetant les termes où A, B, C et a, b, c sont des produits de plus de deux dimensions, et ordonnant les autres par rapport aux dimensions de ces mêmes quantités, on aurait
- Ba2 - 3Cab — 6 A2- 3cAB
j ^L l 3ABa6 -+- (2AC + B2) {iac -+- b') -f- 5BC6c H- -C2c2, 2 2
d'où je tire, en ne conservant que les produits de trois ou d'un moindre III. 20
loi SUR L'ÉLIMINATION DES INCONNUES, ETC.
nombre de dimensions,
cp2= ( A« -+- 2B6 h- 3Cc)2
+ 2(A«h-2B6+3Cc) -Ba2-3C«6-6A2-3cAB + ^-h3AB«6
-4- (2AC + B2) {iac + b-) ■+- 5BCic H- - C2c2 1 + 2(Ba'+ 3Ca6)(ôA2 4- 3cAB1,
et
!?'=(A«+ 2B6 4- 3Cc)3, (p« = o,
de sorte que l'équation sera
1 — ka — - (aB-t A2) (26 — a2) -|(3C — 3AB-t-A3)(3c— 3a&4-a3) -)(-4AC-2B2 + 4A2B)(-4ac-262+4a26)
- g (— 5BC -f- 5A2C + 5AB2) (— 56c 4- 5a2c + 5«62)
- g(— 3C2 -f- 12ABC 4- 2B3)(— 3c2n- i2«6c + 2Ô3)
- -(7AC2+ 7 B2C)( 7 ac24- 7 62c) — 8BC26c2
+ (Aa + 2B6 + 3Cc)r-a + 3B6 + 3C6'-Ba2-3C«6-frA2-3C\B+ — L 2 2
4-3ABaô4- (2AC-4-B2)(2«c+62)+5BC6c-t- - C2c2 4-(Ba24-3Ca6)06A24- 3cAB) — -^ (Aa-t- 2B6 -h 3Cc)3 = o.
LES TAUTOCHRONES.
LES TAUTOCIIRONES.
( Nouveaux Mémoires de V Académie royale des Sciences et Belles-Lettre de Berlin, année 177c)
Depuis Huyghens, qui le premier a trouvé que la cycloïde était la courbe tautochrone pour les corps pesants dans le vide, les Géomètres se sont appliqués à chercher des méthodes directes et générales pour déterminer les courbes qui jouissent de la même propriété dans des hypothèses quelconques de pesanteur et de résistance.
Les premières solutions analytiques qui aient paru de ce Problème sont, je crois, celles que MM. Jean Bernoulli et Euler ont données : le premier, dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris, pour l'année 1730, et le second, dans le tome IV des anciens Commentaires de Pétersbourg. Ces solutions sont fondées sur la considération des fonctions de dimension nulle de deux variables, et il faut avouer qu'elles sont aussi simples et aussi directes qu'on peut le désirer; mais comme ces solutions exigent qu'on ait l'expression de la vitesse, elles ont l'inconvénient de ne pouvoir être applicables qu'aux cas où l'équation différentielle de la vitesse est intégrable. Pour suppléer à ce défaut, il fallait trouver une méthode qui fût indépendante de l'intégration de l'équation qui donne la vitesse, et c'est à quoi M. Fontaine est parvenu par le moyen d'un calcul particulier qui consiste à faire varier les mêmes quantités de
deux manières différentes, et qui a quelque rapport à celui dont les Géomètres du siècle passé se sont servis pour résoudre les Problèmes des trajectoires et quelques autres du même genre.
La solution de M. Fontaine parut d'abord si satisfaisante, qu'on ne parla plus de tautochrones \ comme cet Auteur le dit lui-même dans ses Œuvres imprimées en 1764, page i5; mais le Mémoire que je lus à l'Académie sur ce sujet, en 1767 (*), réveilla l'attention des Géomètres, et fit voir que la matière n'était pas encore si épuisée qu'on l'avait cru. Ayant envisagé la question des tautochrones sous un point de vue un peu différent de celui sous lequel on l'avait toujours considérée avant moi, je suis parvenu à une formule générale et très-simple, qui donne l'expression de la force nécessaire pour produire le tautochronisme, et qui renferme non-seulement tous les cas déjà connus, mais encore une infinité d'autres dans lesquels on ignorait que le Problème fût résoluble. Un grand Géomètre, à qui je communiquai cette formule, mais en supprimant l'analyse qui m'y avait conduit, la trouva assez importante pour mériter qu'il en cherchat la démonstration; et c'est ce qui a occasionné les savantes et ingénieuses recherches qu'il a faites sur la même matière et qui se trouvent dans nos Mémoires pour l'année 1765; mais mon travail n'a pas été jugé si favorablement par M. Fontaine, qui vient de m'attaquer dans un Mémoire imprimé dans le volume de l'Académie des Sciences de Paris, pour l'année 1768. Je m'attendais, avec raison, à trouver dans ce Mémoire des objections solides et dignes du nom de cet illustre adversaire; mais j'ai été bien surpris de n'y trouver que quelques expressions peu obligeantes, sans aucune raison bonne ou mauvaise. Comme la simple lecture de son Mémoire et du mien peut suffire pour me mettre à couvert de ses critiques, je les passerai entièrement sous silence, et je me contenterai d'exposer dans ce Mémoire quelques réflexions que j'ai faites à cette occasion, tant sur ma solution de 1767 que sur la nouvelle solution de M. Fontaine de 1768. Je commencerai par donner la solution d'un Problème qui n'a pas encore été résolu, et qui sert à jeter un grand
(*) OE livres de Lagrange, t. II, p. 317.
SUR LES TAUTOCHRONES. 159
jour sur celui des tautochrones ; je résoudrai ensuite ce dernier Problème dans toute sa généralité; du moins je donnerai les formules les plus générales qu'on puisse désirer sur cet objet; de là je passerai à examiner la solution que M. Fontaine donne pour générale, et je ferai voir qu'elle est incomplète, et même illusoire à certains égards.
Problème I.
Soit a l'espace total que peut parcourir un corps qui part d'un point donné avec une certaine vitesse, et qui est continuellement retardé dans sa marche par une force variable p; soient de plus x un espace quelconque
parcouru pendant le temps t, u la vitesse du corps au bout de ce temps, et L une fonction quelconque donnée de x et de a : on demande par quelle
fonction de u et de x doit être exprimée la force p, pour que le temps t soit égal à une fonction quelconque de L.
1 . On aura d'abord, par les principes de mécanique, l'équation
( À ) udu -+- p dx = o
qui est, comme on voit, une équation différentielle du premier ordre à deux variables x et u, p étant par l'hypothèse du Problème une fonction de x et u. Ainsi il y aura une fonction de x et u, que nous désignerons par R, par laquelle cette équation étant multipliée deviendra intégrable; de sorte qu'on aura l'équation finie
R(udu -{- pdx) = const.
Pour déterminer cette constante, on remarquera que par l'hypothèse du Problème il faut que la vitesse u soit nulle au bout de l'espace a; d'où U
s'ensuit que si l'on nomme A ce que devient la quantité R(udu -hpdx) lorsqu'on y fait x = a et u = o, on aura
idu -+- pdx) = A.
Maintenant, comme le premier membre de cette équation est une fonc-
lion finie de m et a? sans a, et que le second est une fonction finie de a seul, il est clair que si l'on y fait varier à la fois les trois quantités x, u et a, et qu'on suppose dA~-Bda, on aura cette équation différentielle à trois variables (C) R(udu + pdx) — Bda,
de sorte qu'en regardant u comme une fonction de x et a donnée par l'équation (B), on aura
du p du B
dx u da Rw
2. Cela posé, considérons le temps t que le corps met à parcourir l'espace x\ on aura, comme on sait,
C dx
où il faudra mettre à la place de u sa valeur en a; et a donnée par l'équation (B), après quoi on intégrera en regardant a comme constante, ce qui donnera pour t une fonction de x et a.
Supposons maintenant qu'on différence cette valeur de / en y faisani varier à la fois x et a, et l'on aura, en regardant u comme une fonction
de x et «,
, dx , f i du ,
dt = da f — dx,
u J w da
ou bien, en substituant pour -t- sa valeur ^— > et mettant la quantité B
qui est une fonction de a seul hors du signe / ,
3. Or, L étant (hypothèse) une fonction donnée de x et a, on aura
dL = Mdx H-Nrfa,
et comme t doit être une fonction quelconque de L, on aura donc, aussi L égale à une fonction quelconque de t, que nous désignerons par T:
SUR LES TAUTOCHRONES. 161
donc, différëntiant et supposant dT — Sdt, on aura
Sdt = Udx+1Sda;
or, cette équation doit être identique avec l'équation (D); donc on aura, par la comparaison des termes affectés de dx et de da,
M i N C dx
S — «' S ~ J R«3' et par conséquent
N „ C dx
N Soit, pour abréger, ^ = X, et l'on aura, en divisant par u,
X ___B fdx
et différëntiant, dans l'hypothèse de x et u seuls variables et de a constante,
d'où l'on tire
du
mais on a -j—
dx
:c?X — Xdu dx
n~ du ,rfX'
= — •£ (1), donc R = -
rfX
dx
Cette quantité R est, comme on voit, une fonction de u, x et a, parce que B est une fonction de a, X une fonction de a et x, et p une fonction de x et u; or, a étant donné en a; et m par l'équation (B), on pourra réduire la quantité R à n'être qu'une fonction de x et «, et dans cet état ce sera le multiplicateur qui doit rendre intégrable la différentielle udu-hpdx (1); on pourra donc substituer cette valeur de R dans l'équation (C), et, comme cette équation n'est autre chose que la différentielle de l'équation finie (B), il est clair qu'on pourra remettre dans R la quantité a à la place de sa valeur en u et x; d'où il s'ensuit qu'on peut
