Soit, pour plus de simplicité

en sorte que l'équation précédente devienne

( E ) — du 4- — dx -+- da = o.

Or, pour que cette équation soit possible, il faut, comme ou sait, qu'on ait cette condition

dp da dt dP-

r da r da dx du

Mais a ne peut être contenu que dans r, parce qu'on suppose que p soit une fonction de a; et m seulement; donc on aura

dB- , dl± ,

r p dr r u ai-

da ~~ r2 da da r2 da

donc

d!L du r p r

r da r da

de sorte que l'équation de condition se réduira à celle-ci

dx du

SUR LES TAUTOCHRONES. 163

Il faudra donc que cette équation ait lieu en même temps que l'équation (E), sans cependant qu'il en résulte aucune nouvelle détermination entre les trois variables x, u et a. Or, c'est ce qui ne peut arriver que dans ces deux cas : i° si l'équation (F) est absolument identique; i° si la même équation (F) est renfermée dans l'équation (E). Nous allons examiner ces cas l'un après l'autre.

5. Premier cas, où l'équation de condition est identique. — Dans ce cas, il faudra qu'en regardant a comme constante, la quantité - du -+- — rfa? soit une différentielle exacte d'une fonction de u et x, car la condition de l'intégrabilité de la différentielle - du -h — dx est

dx du

qui est précisément la même que l'équation (F); donc, mettant au lieu

r u2 d X X "X ~dx~

de p sa valeur en r, laquelle est ^ — \r T~ ' *' fauara que 'a différen-

tielle

udu / i u' d\

c'est-à-dire.

. dx, X rX dx '

u2 [du o?X\ dx

soit intégrable; or, a cause que X est une fonction de x et a sans u, et que a est regardé ici comme constante, il est clair que le terme -^- sera

intégrable de lui-même, de sorte qu'il faudra aussi que les termes res-

1 du d\\

tant — ( ^-) le soient; ce qui ne saurait être à moins que — ne

soit une fonction de log« — logX ou bien de ■=-■

On aura donc aussi — ésal à une fonction de -^r, qu'on pourra désiu2 ° X ' r

Ifii NOUVELLES REFLEXIONS

gner par a> (^-j -, donc

et par conséquent

X dx J

Or, comme la quantité a est traitée comme constante, elle pourra entrer comme telle dans la fonction indéterminée <p (-^-jï mais, à cause que />

ne doit être qu'une fonction de u et de x, il faudra que a disparaisse de l'expression de p. Nous verrons plus bas comment on peut satisfaire à cette condition.

6. Second cas, où l'équation de condition n'est pas identique. — Ce cas aura lieu lorsque les deux équations (E) et (F) seront identiques l'une avec l'autre; donc, comme l'équation (F) est finie et que l'équation (E) contient les différentielles premières dx, du, da, il faudra que celle-là soit l'intégrale de celle-ci.

Or l'équation de condition (F) se réduit à celle-ci

(F) ÊL^tÉL + LÉL^o.

dx* u du u du

Donc si l'on fait, pour abréger,

dr p dr r dp dx u du u du

en sorte qu'on ait q = o, et qu'on différentie celte équation dans l'hypothèse de u, x et a variables, on aura

—r- dx H — £- du -f ~r~ da = o, dx du aa

qui devra être identique avec l'équation (E); or celle-ci donne du =

p dx r da

p dq

u du

dq da

r dq u du

SUR LES TAUTOCHRONES. 165

donc, substituant cette valeur, on aura

dx u du] \da u du]

équation qui devra être identique; de sorte qu'il faudra que les coefficients de dx et de du soient chacun égal à zéro en particulier, ce qui donnera ces deux équations-ci

qui devront avoir lieu en même temps que l'équation (F).

Donc, supposant la fonction X connue en ce et a, on pourra, par le moyen de ces trois équations, éliminer a, et il en restera deux qui ne contiendront que les variables finies x et u, avec la quantité p et ses différentielles

dp dp d'p d-p d-p dx du dx2 dx du du2

Ces deux équations devront donc être identiques chacune en particulier, de sorte qu'on pourra les différentiel' à volonté en prenant x ou u constante, comme on voudra. On pourra donc, par leur moyen, chasser la quantité/? et ses différentielles, et il restera une équation finie entre u et x qui devra aussi être identique. Ainsi, ayant trouvé cette dernière équation en x et en u, on verra si elle est identique, auquel cas le Problème sera résoluble, et l'on pourra avoir facilement la valeur de p en x et en u; mais si elle ne l'est pas, ce sera une marque que les deux équations (E) et (F) ne sauraient être identiques entre elles, et qu'ainsi le Problème ne pourra pas se résoudre dans cette hypothèse.

7. Corollaire I. — Considérons l'expression générale de p que nous avons trouvée dans le premier cas, et supposons que le terme tout constant de la fonction y (^h soit une fonction quelconque de a que je dé-

signerai par -, en sorte que les autres termes de la même fonction renferment chacun une puissance de u; il est clair que la valeur de p contiendra le terme

., / j j dX\

" V«x x dxy

et qu'il n'y aura aucun autre terme que celui-ci qui renferme le carré ir. Donc, pour que l'expression dep ne renferme point la quantité a, il faudra que le coefficient

j i dX

«X X dx

ne la renferme pas non plus, et par conséquent qu'il soil une fonction de x sans a. Soit donc w cette fonction, en sorte que l'on ail

j i dX

xX X dx — W'

et intégrant dans l'hypothèse de a constante et de x variable, on aura

g-Sadx ÇeSodxdx

mais

g-JV>cfa / efudxfa

,dx j eJudx(

est une fonction de x seulement; donc, dénotant par £ cette fonction, on aura

Substituant donc cette valeur dans l'expression de/>, elle deviendra

,Rt) ,«1

Donc, il faudra que la fonction <p( — ) soit telle, que uf(%-) ne contienne point a, mais qu'elle contienne seulement =-.- Prenant donc une

SUR LES TAUTOCHRONES. 167

fonction quelconque de j telle que <p ( j), et la mettant à la place de on aura, en général,

IMfl .al

8. Corollaire II. — Substituons maintenant cette valeur de p dans l'équation (Ej du n° 4, et l'on aura, à cause de X = -■> l'équation

du d H u \ dx da

dont l'intégrale est

Or, il faut qu'en faisant x = a on ait « = o; donc, si l'on nomme K la valeur de 0 (? J lorsque « = o, valeur qui sera constante et indépendante de a, parce que $ (j ) est censée ne pas contenir a, on aura, en

faisant x = a,

Cdx rda

d'où, à cause de da = efo?, il s'ensuit qu'on aura aussi

-rr a — =0 et « = — 2 ;

c'est-à-dire que a devra être une fonction de a semblable à la fonction £ de x, mais prise négativement.

9. Corollaire III. — Donc, si l'on prend pour a une fonction de a semblable à la fonction de x qui est dénotée par g, on aura

donc (3j

et par conséquent

donc

e?L = M ete — 5 — =M£ '

' c?ff

de sorte que M S. devra être une fonction de

fr-f

et par conséquent L sera aussi une fonction de ou bien une fonction de

et comme £ est supposé une fonction quelconque de L, il s'ensuit que le temps t sera aussi une fonction quelconque de

Çdx

fil

Çda

d'où je conclus que le premier cas de la solution précédente ne peut avoir lieu que lorsque le temps t est supposé une fonction quelconque de dimension nulle de deux fonctions semblables, l'une de œ et l'autre de a.

10. Corollaire IV. — Si le temps t n'est pas une fonction de x et de a telle que nous venons de le dire, alors l'équation de condition q = o ne pourra pas être identique, et le Problème ne sera résoluble que lorsque

SUR LES TAUTOCHRONES. 109

cette équation sera renfermée clans l'équation différentielle (E), ce qui donnera, comme nous l'avons vu (6), les deux équations finies

dq p dq dq r dq

dx u du du u du

Substituons au lieu de r sa valeur p~K -+- u2 -j— (4)> et comme X est une

fonction de x et de a sans u, et que/? en est une de x et de u sans a, .on

aura d'abord

dr -ydp t dX <PX [[2 dx " dx dx ^ dx-

dr „ dp dX

du ~ du ' dx

d'où l'on trouvera

ensuite

— X -P- - — ( - ud-^-\ d'X " dx dx \" du ) dx2

dq djp dXuJPjL d^Xf ±\+**u,

dx dx1 ^ dx dxdu dx- y du) dx3

dq v d-p dX d-p d'-X

du dxdu dx du2 dx2

dl = ^A±^ il* (p - i( *p\ -+- -^- u\

da da dx dadx y ' du) dx2da

Ainsi l'on aura les trois équations

v dp dX I dp \ d2X

„ d'p dX d-p d>X I dp\ d3X ,

/X d'P . dJïcPp <PX\

" \u dxdu *~ dx du- " dx2 /

dX dp d2\ I dp \ d*X u2 ~d~â ~dx dx da \ " du P ) dx2 da

( dX ,\ (X d2p dX d*£ d^X\

~ \ P + ~dx~ * j \u dxdu + dx du2 + 2 dx2 ,

qui devront être identiques entre elles. On traitera donc ces trois équations comme nous l'avons dit (6); mais il arrivera bien souvent qu'elles ne pourront pas avoir lieu à la fois, et alors la solution du Problème sera impossible.

1 ! . Scolie. — On a supposé dans le Problème précédent que le temps t, employé à parcourir l'espace x, devait être exprimé par une fonction quelconque de la quantité L, qui est une fonction donnée de a et. de x; d'où il s'ensuit que le temps t sera constant lorsqu'il y aura entre x et a la relation donnée par l'équation L = const.

Ainsi l'on pourra résoudre le Problème suivant :

Trouver la loi de la force accélératrice nécessaire pour que le corps mette toujours le même temps à parcourir un espace quelconque qui ait une relation donnée avec l'espace total.

Problème II.

On demande l'expression générale de la force accélératrice nécessaire pour le tautochronisme .

12. En conservant les dénominations du Problème I, la question se réduit à trouver quelle fonction de m et de a? on doit prendre pour y», pour que l'expression de t soit telle qu'en y faisant x = a elle devienne indépendante de a. Donc, en regardant (comme on l'a fait dans le Problème précédent) t comme une fonction quelconque d'une fonction donnée L de x et a, il est clair que le Problème sera résolu dans toute sa généralité si l'on fait en sorte que L soit une fonction quelconque de a? et de a telle que « disparaisse lorsqu'on fait x = a. Ainsi la quantité L ne sera pas donnée tout à fait; mais il faudra seulement qu'elle soit assujettie à la condition dont nous venons de parler. Or nous avons supposé (3)

dL = Mdx -hNda; donc, faisant x — a, on aura

dh = (M -f-N )da,

SUR LES TAUTOCHRONES. 171

et comme dans cette supposition on veut que la quantité L devienne indépendante de a, il faudra que l'on ait

donc on aura, en faisant x = a,

M = - N et ^ = X = — i .

De sorte qu'on pourra prendre pour X toute fonction de x et de a telle qu'elle devienne égale à — i lorsqu'on y fait x = a.

Mais il faut remarquer que t doit être égal à zéro lorsque x — o (hypothèse); donc si, en faisant t = o, on a T — K (3), il faudra aussi que I, devienne égal à K lorsque a? = o, de sorte qu'en supposant seulement x infiniment petit on aura nécessairement

K étant une constante indépendante de a, C étant une fonction de a et m un nombre quelconque positif: donc on aura aussi, en différentiant,

dh = mCx"'-' dx + x'" --- da, da

et par conséquent

■» r y-i -i».t (t\j --r OC (JLVa

M = mCx'"-', N = xm -j- et X = — q -j- : da inL da

d'où l'on voit que la quantité X doit être telle qu'elle devienne égale à xD lorsque x est infiniment petit, D étant une constante quelconque.

Donc il faudra que X soit égal à zéro lorsque x = o, et que —r- soit en

même temps une quantité finie quelconque.

Voilà les seules conditions auxquelles la fonction L doive être assujettie dans le cas du tautochronisme; à ces limitations près, la fonction L pourra donc être regardée comme indéterminée, et la solution du Problème sera renfermée dans celle du Problème précédent. Or nous avons vu que ce dernier Problème est résoluble dans deux cas, lorsque l'équa-

t'ion de condition (F) est identique et lorsqu'elle est renfermée dans l'équation différentielle (E); il en sera de même du Problème des tautochrones, de sorte qu'on aura ces deux solutions :

13. Première Solution. — En supposant l'équation de condition identique, nous avons trouvé pour/? l'expression générale (5 et 7)

p = w et comme on a dans ce cas (9

a étant une fonction de a semblable à la fonction ç de x, il est clair qu'en faisant x = a on aura £ = v. et par conséquent X = — i . Donc l'expression précédente de p sera toujours propre a produire le tautochronisme,

quelle que soit la fonction de y désignée par <p ( j\, et quelle que soit

aussi la fonction S de x, pourvu que celle-ci soit telle qu'on ait 2 = o

et ~ égal à une quantité quelconque finie lorsque x = o (12). Cette

solution est la même que celle que j'ai donnée dans mon Mémoire de 1767 (*), en la déduisant de la supposition que l'expression du temps soit une fonction quelconque de dimension nulle de deux fonctions semblables, l'une de a et l'autre de x. Cette supposition pouvait paraître alors trop limitée; mais, après ce que nons venons de démontrer, on voit qu'elle est aussi générale que la question le permet, au moins tant que l'équation de condition doit être identique, ce qui est le cas le plus naturel et en même temps le plus général.

14. Seconde Solution. — Si l'équation de condition n'est pas identique il faut voir si elle peut être renfermée dans l'équation différentielle même, auquel cas le Problème sera encore résoluble, autrement il ne le

(*) OJinvrcs dr Lagrange, t. II, p. 3i;.

SUR LES TAUTOCHRONES. i73

sera pas. On aura donc, dans ce cas (6), les trois équations

CJ± -11 cJl=0, dx u du

dJL ^^i=0

da u du ' c'est-à-dire (lOj

v dp dX ( dp \ d2X ,

dx dx \ du ' ] dx1

tPp dX jPp <PX I dp \ d*X u-2 dx2 dx dx du dx2 \ du ' j dx*

X d2p dX d2p cJ'X\ u du dx dx du- dx2 )

dX dp d2X f dp \ d3X

da dx ~" dx da \ du w dx2da

-{Xp

dX A (X d2p dX <Pp d2X dx ! \ u du dx dx du2 ' dx2

De sorte qu'il faudra que la valeur de p en x et u soit telle qu'elle satisfasse à la fois à ces trois équations, en prenant pour X une fonction quelconque de x et de a telle que X = — i lorsque x = a, et que X = o, et. -j- soit égal à une quantité finie lorsque x = o.

Or, il est clair que la recherche de la valeur de p par le moyen de ces trois équations sera très-difficile, et qu'ainsi la solution précédente peut être regardée comme plus curieuse qu'utile; mais elle peut être beaucoup simplifiée par la considération suivante.

15. Troisième Solution. — La Solution précédente est fondée sur la supposition que l'équation de condition q = o soit identique avec l'équation différentielle (E); or, pour que cette identité ait lieu, il faut que l'équation q — o exprime la même relation entre les trois quantités u, xela, qui est exprimée par l'équation différentielle (E). Donc, si l'on imagine qu'on lire de cette dernière équation la valeur de a en u et x, et qu'on la substitue dans celle-ci, q = o,i\ faudra que l'équation qui en

résultera soit identique. Or on a (10)

* dx dx \ du " ) dx1

où p est supposé une fonction de x et u sans a, et X une fonction de x et a sans u; ainsi il ne s'agira que de substituer dans la quantité X, et

dans ses différentielles -3— > -j-j- à la place de a sa valeur en u et x qui est supposée donnée par l'équation (E); or, la quantité X étant indéterminée, on pourra la regarder d'abord comme une fonction de x et u sans a, et alors l'équation q = o devra être idejntique.

1 6. 11 faudra seulement observer :

i° Que la quantité X devra être égale à — i lorsque u = o, quel que soit x; car il faut que X soit égal a — i lorsque x — a\ mais on a (hypothèse) m = o lorsque a? = a; donc il faudra que X soit égal à — i en y faisant x •■ = a et u = o; et comme la quantité X regardée comme une fonction de m et a? est supposée ne pas contenir a, il est clair que cette quantité ne pourra pas devenir égale à — i en faisant u . = o et x = a, à moins qu'elle ne le devienne aussi quel que soit x.

2° Qu'en faisant x = o et u tout ce qu'on voudra, la quantité X devra

devenir nulle, et la quantité -j — -t— finie; car la quantité X regardée comme une fonction de x et de a doit être de la forme Dx lorsque x est très-petit (12), D étant une fonction de a; donc, mettant à la place de a sa valeur en u et x, et faisant x nul, la quantité D deviendra une fonction de u; on aura donc, lorsque x est infiniment petit,

et différentiant

dX , dX , n dV .

—-- dx ^ — r- du = D + x -— du , dx du du

et mettant à la place de du sa valeur

pdx

dX p dX xp dl)

dx u du u du

SUR LES TAUTOCIIRONES 175

donc, faisant maintenant ce = o, on aura

dX P dX X = o et -, — -y— — - D.

rte u du

17. Cela posé, si l'on considère X comme une fonction de a? et u et

qu'on suppose

dX = Pdx-\-Qda, dP = Rdx-hSda,

on aura

dX n d'X D

-j— = P et -j-— = R, cte a.r2

de sorte que la quantité q deviendra

Regardons maintenant la quantité X comme une fonction de a- et u, et

l'on aura aussi

dX = T<te H-Vf/«,

</V = Y dx + Z</«;

or on a, par l'équation (E),

, p dx r da

du = — ?

dX = T - £— ) dx - — du;

donc

différentions maintenant cette valeur de P, et l'on aura

dV = Wdx + Ydu — Vd^ - ?- (Ydx -hZdu), u u

c'est-à-dire

dî> = W JL tf y t- \dx + Y- - -(- + -Z -^) du, u dx u I \ u du u* u

à cause de

ii il \ax du I u-

, , pdx rda et mettant pour du sa valeur — )

\ u dx u u- du a* il-

u du u

V /<//, /> tf/> ^ y>'\ ^ Z/j' 2Y/>

de sorte qu'on aura

Substituant donc dans q les valeurs de P et de R que nous venons de trouver, on aura

dx \ u ) \ au

Vf .dp dp p-

dx du

c'est-à-dire

, = *£-HT(.g-,)-V.g+™ + Z,-,T*-

Or, puisque X est regardé maintenant comme une fonction de x et u, on aura

donc, substituant ces valeurs, on aura pour l'équation de condition

dp t dX/dp \ dHudp (i'X^ | dX , ^ d*X ((q dx dx \ du " ) du dx dx- du? " " dx du "

et cette équation suffira pour la solution du Problème.

18. Donc, si l'on veut que p soit exprimé par g -+- V, V étant une

SUR LES ÏAUTOCHRONES. 177

fonction donnée de u, et S une fonction inconnue de x, on substituera dans l'équation précédente cette valeur de p, ce- qui donnera

dx2

d*X du*

:tt

+ vr-

d'X du dx

Et l'on tâchera de déterminer par cette équation les quantités S et X, en sorte que | soit une fonction quelconque de .r seul, et que X soit une fonction de x et de u assujettie aux conditions énoncées dans le n° 16.

19. Corollaire. — Si l'on suppose que la quantité X soit donnée dans l'équation (I), on pourra en tirer la valeur de p. Pour cela, je remarque que cette équation peut se réduire à celle-ci

dX dX , dX dX

Xp~~du~pu~h~dx~u Xp~~du~pu+dx~

dx du

ce qui est aisé à vérifier par la différentiation, de sorte qu'il faudra que

la quantité

u du 4- p dx

plX

du j dx

soil une différentielle complète d'une fonction de x et de u.

En effet, pour que l'équation (E) du n° 4 soit possible en regardant p et X comme des fonctions de x et de u, il est clair qu'il faut que

udu -+- pdx -..„.. ... . , , ,

— — soit une ditierentielle complète. Or on a, en mettant P a la

Piacede^ (17)>

r = pX -+- Vu-;

mais on a, par le même numéro,

p T pV dX p dX

u dx u du '