III

donc

(v dX\ ,dX

Maintenant, si l'on tire la valeur dep de cette équation, on aura

dX

r — u1 —r— dx

? = - — ax.'

du et cette valeur étant substituée dans la quantité — — — 2__, on aura

celle-ci

, u2 dX ,

, dx — ; — dx

u du r dx

v dX

du

ou bien

V ,7 Wf/X ./ ^«^ , A M du — U2 — ; — flM H 7— dx

dx \ du dx

v dX ( dX\

c'est-à-dire, à cause de dX = -j— rfw -f- -3— <£r,

~ dx + 71 rfxY a x'

dx \ du j

laquelle devra donc être une différentielle complète.

Soit

tirant de cette équation la valeur de u, elle sera exprimée en x et y, de sorte que, substituant cette valeur dans la quantité précédente, on aura une quantité de la forme

Ydx -h -t dy, où Y et Z seront des fonctions données de a; et y, et où /-sera une fonction

SUR LES TAUÏOCHRONES. 179

inconnue des mêmes variables, laquelle devra être telle, que la quantité dont il s'agit soit une différentielle complète. D'où il s'ensuit qu'on aura

CdY

'(v) étant une fonction quelconque de y, et par conséquent

dY , dx

Ayant r, on aura p par la formule ci-dessus, de sorte, qu'en remettant

à la place de y, on aura jd en x et u.