Scolie. — Au reste, puisque l'on a

dt = — et udu-\-pdx = o,

on aura aussi

dt = h X ( udu -+- pdx\,

X étant une quantité quelconque; donc on pourra déterminer X en sorte que la quantité dt ou

-4- p X | dx -\-\udu

soit intégrable; alors le temps t deviendra une fonction de x et de u; or t doit être égal à zéro lorsque x = o, et pour avoir le temps total il faudra faire « = o; donc si l'on veut que le tautoehronisme ait lieu, il faudra que l'intégrale de

-+- p X I dx -+- X u du

soit une telle fonction de x et de u, qu'elle s'évanouisse lorsque a; = o et qu'elle devienne constante, c'est-à-dire indépendante dex lorsque u = o.

Or c'est ce qui aura lieu si l'on a «X = o lorsque x = o, et - -hpX = o lorsque u = o. Maintenant, pour que

- -+- />X ) dx -i-Xu du soit intégrable, il faut que l'on ait

■ rd(Xu) . rdx

- +pX= | j du = / — î— m «m ;

u r J dx J dx

donc on aura, en général,

J dx

idu

/ dx P =

X étant une fonction quelconque de x et de u telle que l'on ait X = o lorsque x = o, et I -j-udu = o lorsque u = o.

Soit, par exemple,

? étant une fonction de x telle qu'elle soit égale à zéro lorsque x = o, et V une fonction de u; on aura donc

dX dx

=: \ V1 et | -j— Bff«=-r I V £< «M,

de sorte que V devra être tel que I Vae?a soit nul lorsque u = o; de cette manière on aura, en général,

I dç f y II dll j

p = \dx v fvir

Supposons V= u"1, on aura

d'où l'on voit que m -h 2 doit être plus grand que zéro, c'est-à-dire m>> — 2. Faisons donc m-t-2 = n, n étant un nombre quelconque

SUR LES TAUTOCHRONES. J81

positif, on aura

V = u"--, I \udu= — ?

et l'expression de p sera

" ni dx \ u"-'

Si l'on fait n=i,on aura

i dl , i P=lTxU~X

Ce qui pourrait servir, ce semble, à déterminer les tautochrones dans les milieux résistants comme les carrés des vitesses; mais il faut remarquer que le coefficient de u- dans l'expression de p que nous venons de trouver ne peut jamais être constant; car supposant ■= -A =K, on aurait | = heKx, ce qui n'est pas nul lorsque x = o, contre l'hypothèse; donc la formule précédente ne pourra avoir lieu que lorsqu'on supposera la densité du milieu variable.

La solution que nous venons de donner est analogue à celle que nous avons déjà donnée à la fin de notre Mémoire de 1767. M. d'Alembert en a donné de son côté une pareille, qu'il a accompagnée d'un grand nombre de remarques très-intéressantes, et qui lui sont propres; c'est pourquoi nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce sujet.

Remarques sur la solution du Problème des tautochrones, donnée par M. Fontaine dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, pour l'année 1768.

21. M. Fontaine réduit la solution de ce Problème à deux équations qui, en faisant S = o, pour avoir le cas du tautochronisme, se réduisent à celles-ci (p. 468) :

dp dx

da Pdx +

doc dp dx du

d'ct dx2

da. d*p dx du-

d'à dx2

où/? est la force retardatrice le long de l'arc x, force qu'il suppose être la somme de deux fonctions, l'une de x et l'autre de u, en sorte que l'on ait

, , = o, et a. est une fonction de dimension nulle de x et de «, laquelle dx du '

doit être égale à zéro lorsque x = o, et égale à i lorsque x = a (p. 466).

22. Je remarquerai d'abord que la supposition que a. soit une fonction de dimension nulle de x et a est trop limitée; aussi M. Fontaine s'en écarte-t-il dans le premier exemple qu'il donne et où il trouve

qui n'est pas, comme on voit, une fonction de dimension nulle de a? et de a. Cette méprise n'influe à la vérité en rien sur sa solution, mais elle peut servir, ce me semble, à inspirer au lecteur quelque défiance sur l'exactitude de ses calculs.

23. Considérons maintenant les deux équations de M. Fontaine. Il est clair que la première est la même que l'équation que nous avons désignée par (F) dans le n° 9, en y mettant a à la place de X, de sorte que cette équation de M. Fontaine n'est autre chose que l'équation de condition nécessaire pour que l'équation différentielle

udu -+- p dx ,

— ; 1- da = o

, da.

pa -+- u- -rr dx

soit possible ; et c'est ce qu'on peut aisément vérifier par le calcul (nos 4 et suivants).

Or nous avons vu dans le Problème II que la condition du tautochronisme n'exige autre chose sinon que l'équation dont il s'agit soit possible en prenant pour X ou a une fonction quelconque de x et de a telle qu'elle soit nulle lorsque x = o, et égale à — i lorsque x = a. Ainsi la première équation de M. Fontaine suffit pour la solution du Problème, et il n'est nullement nécessaire, comme cet Auteur le prétend (p. 467), d'en chercher encore une autre.

SUK LES TAUTOCHRONES. 18$

Quant aux conditions auxquelles notre théorie exige que la quantité X soit soumise, elles s'accordent aussi avec celles que M. Fontaine exige dans la fonction a, à cela près que nous avons trouvé que la quantité X devait être égale à — i lorsque x = a, et que M. Fontaine suppose que la fonction x soit égale à i lorsque x = a; mais il faut observer que, comme l'équation de M. Fontaine dont nous venons de parler contient la quantité « ou ses différentielles dans tous les termes, on y peut supposer également x positif ou négatif; ainsi, si l'on met dans notre équation (F) — a à la place de X, on aura également l'équation de M. Fontaine, et alors les conditions de a et de X seront les mêmes chez lui et chez nous.

24. Si donc M. Fontaine s'en était tenu à sa première équation, il aurait pu en tirer une solution générale du Problème des tautochrones; mais il aurait du, pour cela, distinguer les deux cas où cette équation est identique et où elle ne l'est pas, comme nous l'avons fait dans les Problèmes précédents. Or nous avons vu que le premier cas ne peut avoir lieu que lorsque la force/) est exprimée ainsi

.fîfiLifll.

ce qui revient à notre Solution de 1767, où nous étions parti de la supposition que le temps devait être une fonction de dimension nulle de deux fonctions pareilles, l'une de x et l'autre de a (13).

Ainsi, en supposant que l'équation de M. Fontaine doive être identique, il est clair que sa Solution ne saurait être plus générale que la mienne de 1767; mais ma Solution a sur la sienne l'avantage de présenter dans une seule formule générale tous les cas dans lesquels le Problème est résoluble, et c'est en quoi consiste principalement le mérite de cette Solution, si elle en a quelqu'un.

Mais si l'on veut que l'équation de M. Fontaine ne soit pas identique, alors on aura encore deux autres équations analogues à celles que nous avons données dans le n° 14, de sorte que dans ce cas on aura nécessai-

rement trois équations qui seront les mêmes que celles du numéro cité,

en y mettant simplement a à la place de X.

En général, soit la première équation de M. Fontaine représentée par

on aura nécessairement, dans le cas où cette équation n'est pas identique, les deux équations

^£Z^i==0, ^ - - -?■ = o, dx u du da u du

où (4)

„ da r = Pa + U dx'

et ces deux équations devront être identiques avec l'équation q = o; autrement, le cas dont il s'agit ne pourra pas avoir lieu.

25. Voyons maintenant ce que donne la seconde équation de M. Fontaine. Il est facile de voir que cette équation se réduit à celle-ci

à cause que M. Fontaine suppose , v, =o et que a ne doit point contenir u; de sorte qu'on aura, suivant M. Fontaine,

* = 0 et du=°-

Or je dis que cela ne saurait avoir lieu que lorsque l'équation q = o est identique; car si cette équation n'est pas identique, il faudra que l'on ait en même temps, comme nous venons de le dire ci-dessus,

^!£^£=o et d3.- -^ = 0; dx u du da u du

donc si l'on fait -r- = o, il faudra faire aussi -p- = o et -§- = o, ce qui

du dx da '

exige que l'équation q = o soit identique, c'est-à-dire qu'elle n'exprime aucune relation entre les trois variables x, u et a.

SUR LES TAUTOCHRONES. 185

De là, et de ce que nous avons dit plus haut, il s'ensuit que les deux équations que M. Fontaine donne pour la solution générale du Problème des tautochrones ne sauraient jamais fournir une solution plus générale que celle qui est renfermée clans ma formule de 1767, que M. Fontaine accuse d'être trop particulière. Aussi l'application que M. Fontaine prétend faire de ses équations au cas où la force/? serait exprimée par

o- -t- gu ■+- hu1 -+- hus,

g, h et k étant des constantes et a une fonction de x, est illusoire et fautive, comme il est facile de s'en convaincre, avec un peu de réflexion, d'après les remarques que nous venons de faire sur ce sujet.

26. Je dois remarquer encore, quoique ceci n'ait aucun rapport au Problème des tautochrones, que M. Fontaine ne s'exprime pas exactement quand il dit qu'il a appris aux Géomètres les conditions qui rendent possibles les équations différentielles du premier degré à trois variables. Il me semble que les Géomètres les connaissaient longtemps avant que M. Fontaine fût en état de les leur enseigner. Car on trouve dans un Mémoire de M. Nicolas Bernoulli sur les Trajectoires, imprimé en partie dans les Actes de Leipsic de l'année 1720, en partie dans le tome VII des Suppléments, qui a paru en 1721, et réimprimé ensuite dans le second volume des Œuvres de M. Jean Bernoulli, on trouve, dis-je, dans ce Mémoire, le Théorème suivant :

Si l'on a l'équation dx = pdy ■+- qda, p et q étant des fonctions de x, y et a, et qu'on suppose, en général, dp = 1dx -hSdy -hRda, on aura nécessairement, en regardant a comme constante, l'équation

dq = R dy -t- Tq dy,

laquelle servira à déterminer q. (Voyez les pages 3u et 3ia des Suppléments cités à la page 443 du tome II des Œuvres de M. Jean Bernoulli.) Or si l'on suppose qu'en regardant a comme constante on ait, en général,

dq = P dx -+- Q dy, III 24