IV . IV - IV

x'=r— — , x=xr— ^ — 5 x'=pr— — 5-; 3 /• 3ar 3 S r

d'où, à cause de x = x' — -5-' on aura, en faisant, pour abréger, — = s, ces trois valeurs de x, savoir

donc

III A lit n A

Retranchant successivement la seconde et la troisième de ces équations de la première, on aura

d'où l'on tire

ar+s,

= ûr + s;

et retranchant de nouveau l'une de l'autre, ensuite divisant par ar — j3, il

viendra

x(a — b) (3 (a— c) 1- a 1- fi

DES EQUATIONS. 215

c'est-à-dire

Or, i, <x et pétant (hypothèse) les trois racines de l'équation x3 — 1 = 0, on aura

x3 — iz= (x — i)(x — a)(x — (3 ),

et différentiant

Zx2=(x — tx){x— (3) H- (ar — i){x — fi)-h(x — i){x — x);

de sorte qu'en faisant successivement x = i , «, j3, on aura

donc, substituant ces valeurs dans l'expression précédente de /', on aura

''-3 + 3^+3p' ou bien, à cause de a|S = i,

Telle est donc la valeur de r, et par conséquent aussi de y; de sorte qu'on aura en changeant, ce qui est permis, « en |3 et vice versa

a-\- ab -+- (3e

6. On voit d'abord par cette expression de y pourquoi la réduite est nécessairement du sixième degré; car comme cette réduite ne dépend pas immédiatement des racines a, b, c de la proposée, mais seulement des coefficients m, n, p, où les trois racines entrent également, il est clair que dans l'expression de y on doit pouvoir échanger à volonté les quantités a, b, c entre elles; par conséquent la quantité y devra avoir autant de valeurs différentes que l'on en pourra former par toutes les

permutations possibles dont les trois racines a, b, c sont susceptibles; or on sait par la théorie des combinaisons que le nombre des permutations, c'est-à-dire des arrangements différents de trois choses, est 3 . 2 . i ; donc la réduite en y doit être aussi du degré 3. 2.1, c'est-à-dire du sixième.

Il y a plus : la même expression de y montre aussi pourquoi la réduite est résoluble à la manière des équations du second degré; car il est clair que cela vient de ce que cette équation ne renferme que les puissances y3 et y6, c'est-à-dire des puissances dont les exposants sont multiples de 3; en sorte que, si r est une des valeurs de y, il faut que ar et j3r eh soient aussi à cause de a3 = 1 et jS3 = 1 ; or c'est ce qui a lieu dans l'expression de y trouvée ci-dessus. Pour le faire voir plus aisément nous remarquerons que j3 = or, car, puisqu'on a a/3==i et a3 — 1=0, on aura aussi a/3 = «3, et de là /3-— a2; de sorte que l'expression de y pourra se mettre sous cette forme

a ■+- ocb -4- aPc

d'où, en faisant toutes les permutations possibles des quantités a, b, c, on tire les six valeurs suivantes

b -+■ a c -i- oC1 a

c + ab -+- ara -y ,

qui seront donc les six racines de la réduite. Maintenant si l'on multiplie la première par a, et ensuite par /3 ou par or, on aura, à cause de a3 = 1 ,

DES EQUATIONS. 217

ces deux-ci

c -h a a -+- ce- b b + a c -+- or a -3 Cl ' ""S '

qui sont la sixième et la quatrième; et si l'on multiplie de même la seconde par a et par «2, on aura

qui sont la troisième et la cinquième. 11 en sera de même si l'on multiplie la troisième et la quatrième, ou la cinquième et la sixième par y. et par a2, car on aura par là également toutes les autres.

7. Cela nous conduit à une méthode directe pour trouver la réduite d'où dépend la résolution des équations du troisième degré; car soit

l'équation proposée dont les racines soient a, b, c, et supposons que les racines de la réduite soient représentées généralement par une fonction du premier degré des racines a, b, c, telle que

A«+ B6 + Ce,

A, B, C étant des coefficients indépendants des quantités a, b, c; en faisant toutes les permutations possibles des quantités a, b, c, on aura ces quantités

Aa-l-

B6 + Cf,

Aa -+-

Bc4-C6,

B« + Ce,

Ab-h

Be + C«,

Ac +

Bb-hCa,

Ac +

Ba-hCb,

qui seront les six racines de la réduite. Or, pour que cette équation n'ait

que des puissances dont les exposants soient multiples de 3, il faut,

comme nous l'avons vu plus haut, que, nommant r une de ses racines,