III

ocrel /3r ou air en soient aussi; donc, prenant la quantité -

Aa 4- B6 -H Ce

pour r, il faudra que la quantité

soit égale à une des cinq autres quantités ci-dessus; or elle ne saurait

devenir égale à

Aa + Be-hCi

ni à

Ab -t- B« -!- Ce

qu'en taisant a — i , car dans le premier cas on aurait

aA = A,

et dans le second

aC.= C;

mais en la comparant à la quantité

Ai + Bc-I-Ca,

on aura

aA = C, aB = A et czC = B,

d'où l'on tire

C = aA, B = a2A et a3 A = A ,

c'est-à-dire

ce qui montre que ot doit être en effet une des racines de l'équation

ainsi en faisant, pour plus de simplicité, A — i, on aura

A = i, B = a et C = a2,

ce qui donne les mêmes formules qu'on a trouvées plus haut en faisant abstraction du dénominateur 3.

Faisant donc, pour abréger,

r— a -t- ab -+- x2c, * = a H- c/.c + a2 1>,

on aura r, v.r, <*-/- et s, as, y- s pour les six racines de la transformée; or, nommant y l'inconnue de cette équation, on trouvera d'abord que le produit des trois facteurs/— r, y — ur, y — ocr sera y3 — r3, et que de même le produit des trois autres sera y3 — s3, de sorte que le produit total, c'est-à-dire la réduite elle-même, sera représentée par

y.O ( ;,3 | S3 j ^.3 ! ,,3^3 __ Qj

qui a la forme demandée. Il ne s'agit donc plus maintenant que rie trouver les valeurs de r3 + s3 et de r3s3 : or, en élevant au cube la quantité r et faisant attention que aJ = i , on trouve

r' = a3 -+- b3 -t- c3 -h 6 abc -+- 3a(a2b -+- b-c -+- <:2a) -+- 3ac2{ ab'1 -+- bc' -t- ca2 ),

et par conséquent, en changeant b en c, on aura de même

s1 = 8J+4! + c,+ 6 aie -4- 3x[a2c -+- c'b -t- 62a) -t- 3a2(e2a + 62c + a'b).

Soit, pour plus de simplicité,

a3 -\- b3 + c3 -t- 6ai<? = L, a'b ■+■ b2c + c2a = M,

on aura donc

don<

:L + 3«M+3a2N, :L + 3aN + 3a2M,

aL-l-3ia + a-;iM + N,

mais comme i , a et a2 sont les trois racines de l'équation .r3 — i = o qui manque du second terme, on doit avoir

donc

Multipliant ensuite les valeurs de r3 et s3 ensemble, on aura

r3s3 = L2 + 9(M2 + N2)-f- 3 (a 4- a2 ) [Ll.M -4- N) + 3MN],

ou bien, à cause de a. ■+- a- = — i ,

r»i»=L[L— 3(M+Ni] +9 [(M + N)2— 3MN];

or il est facile de voir que les quantités L, M -4- N et MN doivent être données par les coefficients m, n, p de la proposée, et cela sans extraction de racines, ce qui suit de ce que ces quantités ne changent point, quelques permutations des quantités a, h, c qu'on y fasse, de sorte qu'elles ne peuvent avoir chacune qu'une valeur unique.