En effet, ayant
— m = a + b + c, 11 = ab -4- ac + bc, — p ■= abc, on aura d'abord par les règles connues
a- -+- b- -r- c- = m- — in, a3 -+- b3 -+- c3 = — m3 -4- 3 mn — ip, et l'on trouvera de là
a? b3 -+- a3 c3 4- b3 c3 = n3 — 3 mnp -4- 3j92 ;
donc
L = — m3 -1- 3mn — qp,
M -4- N = 3p — mn,
MN = n3 -+- p ( m3 — 6 mn ) -4- gp2 ;
d'où l'on trouvera
r3s3 = m6 — 9 m4 ;i -4- 27 m2re2 — 27 n3 = (m1 — 3m)3,
de sorte que notre réduite sera
j-6 -1- ( 2 m3 — 9 mn -f- 27 /> ) ^'3 + I »*2 — 3 « )3 = o,
qui revient au même que celle qu'on a trouvée plus haut (5), en faisant seulement attention que l'inconnue y de celle-ci est triple de l'inconnue/
de celle-là. Résolvant donc cette équation à la manière de celles du second degré, ou bien faisant, pour abréger, j3 = z, en sorte que l'on ait
z2-h (2. m3 — gmn -+- 27/7) z ■+- (m- — 3nf = o,
et nommant z' et z" les racines de cette équation du second degré, on aura
donc
y — yj' ou y — ^z" ;
par conséquent, puisqu'on a supposé que r et* étaient deux valeurs de y,
on aura
r = a -+- ab -f- càc = \j z' ,
s = a + ac -+- oC-b = <J z" ,
équations qui étant combinées avec l'équation
serviront à trouver les trois racines a, b, c; en effet on aura, à cause de «3 = i et de 1 + a -f- a2 = o,
fc"
ce qui s'accorde avec ce qu'on a trouvé plus haut.
9. Il est à propos de remarquer encore, pour éclaircir davantage cette matière, que les quantités M et N du n° 7 sont telles que l'une devient toujours l'autre en y faisant une permutation quelconque entre les trois racines a, b, c, de sorte que ces quantités M et N ne peuvent être que les racines d'une équation du second degré. En effet, nommant t l'inconnue de cette équation, il est clair qu'elle aura nécessairement cette forme
;!-(M+N)i+MN = o;
donc, substituant pour M + N et MN leurs valeurs trouvées ci-dessus (8),
on aura
t' — {3p — mn) t + iv -+- (m3 — 6mn) p -+- gp2 = o.
Ainsi l'on aura, parla résolution de cette équation, les valeurs de M et N; et comme d'ailleurs la quantité L est déjà donnée, puisqu'on a
on aura les valeurs de r3 et de s' (7), ou bien celles de z' et z" (8), les-
quelles seront donc
z' = L + 3aM -+- 3<z2N,
et moyennant ces valeurs on aura celles des racines a, b, c, comme on l'a vu tantôt.
Au reste cette propriété des fonctions M et N fait voir clairement
pourquoi la quantité
z = y3 = ( a -t- oc b -h ce c f
ne dépend que d'une équation du second degré, de sorte que l'équation en y ne peut renfermer que les puissances/3 et y6.
10. La résolution des équations du troisième degré que nous venons d'examiner est appelée communément la Règle de Cardan, et elle est la seule que les Analystes connaissent. Mais il y a encore une autre méthode qui est due à M. Tschirnaus, et qui, quoique moins simple que celle de Cardan, a cependant l'avantage d'être plus directe et plus générale. Cette méthode est exposée dans les Acta Eruditorum de l'année i683, et elle consiste à faire disparaître autant de termes intermédiaires que l'on veut d'une équation quelconque; l'Auteur la propose comme générale pour cet objet, et nous verrons qu'elle l'est en effet, mais qu'elle demande souvent la résolution d'équations d'un degré supérieur à celui de la proposée, ce qui empêche qu'elle ne réussisse au delà du quatrième degré.
M. Tschirnaus remarque que comme on peut faire évanouir un terme
quelconque d'une équation dont x est l'inconnue, par la supposition de
y étant une nouvelle inconnue et a une quantité indéterminée, de même on pourra en faire évanouir deux quelconques en supposant
x- = bx -h a -+- y,
au trois en supposant
x1 = ex'1 -+- bx -+- a + y,
et ainsi de suite, a, b, c,,.. étant tous des coefficients indéterminés dont le nombre doit être égal à celui des termes qu'on veut faire évanouir, afin que l'on ait autant d'inconnues que de conditions à remplir.
Ainsi il n'y aura qu'à éliminer l'inconnue x de l'équation proposée par le moyen de la nouvelle équation qu'on a supposée, et l'on aura une équation en y qui sera toujours du même degré que la proposée, et dans laquelle on pourra supposer autant de termes égaux à zéro qu'il y a d'indéterminées a, b, c, —
Prenons donc l'équation du troisième degré
x3 -+- mx2 -+- nx -+■ p = o, et supposons
x'1 = bx -h a h- y,
pour qu'on soit en état d'éliminer dans la transformée les deux termes intermédiaires; on aura donc
x3 = bx2 -+- ax -+- yx, et, en substituant la valeur de x'1,
xz = (b2 -h a -h y) x -h b (a -f- y); donc, substituant ces valeurs dans la proposée, on aura ( A ) ( b2 -+- mb ->- n -+- a -h y ) x -h ( b -+- m) [a + y) -h p = o,
d'où l'on tire
x = (b + m){a + r)+P j b2 -+- mb -v n -h a -+- y
valeur qui étant substituée dans l'équation
x- = bx -4- a ■+- y
donnera celle-ci, où je fais, pour plus de simplicité, b-hm = c, b2 -+- mb -+- n = d,
[c(à+y)+ p]2 ■+- b[c(a-hy) -+- p](d -+- a -+- y) — (a-hy)(d-t-a -f-j)2 = o,
c'est-à-dire, en ordonnant les termes par rapport aux puissances de a -h y, et remettant les valeurs de c et d,
i ( y -+- a )3 — ( mb ■+■ m2 — 2 n ) ( y -+- a )2
I -4- [re62 + (mn — 3p)b -hri> — 2mp](y -h a) — p (b3 -h mb2 -h nb -h p ) = o,
de sorte qu'en développant les puissances de y + a, on aura l'équation
y3 -+- Ay2 -4- By -+- C = o, dans laquelle
A = 3 a — mb — m2 -4- 2 re,
B =: 3a2 — o.a{mb -+- m2 — are) -+- re62 -4-(/rere — 3p)b -h n2 — 2wi/>,
C = a3 — (mb -h m2 — in) a2 -+- [nb2 + (mn — 3 p b -\- n2 — 2.mp]a
— p I b3 -+- mb2 -4- nb -+- p).
Maintenant on peut faire évanouir le second et le troisième terme en supposant A = o et B — o, ce qui donnera ces deux équations
3a — mb — m2 + 2.re = o,
3a2 — 2« (mb -+- m? — 2w) -+- nb2 -4- (mn — 3 p) b -+- n2 — ?.mp = o,
par lesquelles on pourra déterminer a et b; et l'équation en y sera réduite à la forme
laquelle donne sur-le-champ ces trois racines
y = — y/C, /• = — ây'C, y=— a2y/C, 1, a et a2 étant les racines de l'équation x3 — 1=0. Ainsi mettant
d'abord dans l'expression de x trouvée ci-dessus les valeurs de a et b qui résultent des équations précédentes, et ensuite pour y les trois racines de l'équation y3 -+- C = o, on aura tout d'un coup les trois racines x de l'équation proposée.
Or, comme des deux équations qui doivent donner a et b la première est du premier degré et la seconde du second, il est visible que la détermination de ces quantités ne dépendra que d'une équation du degré i . 2, c'est-à-dire du second degré; en effet, on aura d'abord
mb -f- /n2 — 2 n a= 3 ,
et, substituant cette valeur dans la seconde équation, on aura
(m2 — 3n)b2 + (im3 — ymn + gp)b -+- m* — /^iri'n -f- 6mp + ?i2 = o,
d'où l'on tirera deux valeurs de b qui pourront être employées indifféremment, parce qu'elles donneront toujours les mêmes valeurs de x.
Cette méthode a donc l'avantage de conduire immédiatement à une réduite du second degré, au lieu que par la méthode ordinaire on tombe dans une réduite du sixième; mais la résolution qu'elle donne n'est pas pour cela exempte de l'inconvénient que nous avons remarqué dans la résolution de Cardan, et qui consiste en ce que cette résolution est plutôt celle d'une équation du sixième degré que d'une équation du troisième (2). En effet, puisque la quantité y a trois valeurs, et que les quantités b et a en ont chacune deux, il est visible qu'il doit résulter six valeurs de x, lesquelles ne peuvent être par conséquent que les racines d'une équation du sixième degré; il est vrai que ces six valeurs se réduiront à trois, dont chacune sera double, comme il est facile de le démontrer, et comme nous l'avons déjà fait voir à l'égard de la formule de Cardan.
11 . Il y a une remarque importante à faire touchant cette méthode de M. Tschirnaus, c'est que, dès qu'on a trouvé les valeurs de a, de b et de y, on ne doit pas prendre indifféremment pour x une des racines de l'équation supposée
x1 — bx — a — y = o,
