III

ainsi que l'Auteur le fait; car, pour que cela fût permis, il faudrait que cette équation renfermât deux des racines de la proposée, et par conséquent que b fût la somme de ces deux racines; or, comme il n'y a pas plus de raison pour que b soit la somme de deux quelconques des trois racines de la proposée que de deux autres quelconques, il s'ensuit que b devrait avoir autant de valeurs différentes qu'il y a de manières de prendre les trois racines deux à deux, c'est-à-dire trois valeurs, à cause que le nombre des combinaisons de trois choses prises deux à deux est

^— = 3; au lieu que nous avons vu que la quantité b n'a que deux valeurs, puisqu'elle ne dépend que d'une équation du second degré.

L'esprit de la méthode que nous examinons consiste à faire en sorte que l'équation supposée ait une racine commune avec la proposée; ainsi, quand on a déterminé les valeurs de a, b et y en sorte que cette condition ait lieu, il faut prendre pour la valeur de x celle des racines de

l'équation

x'1 — bx — a — y = o,

qui sera commune à l'équation proposée

x3 -+- mx1 -+- nx -+- p = o ;

pour cela il n'y aura qu'à chercher le plus grand diviseur commun de ces deux équations, et ce diviseur, où x sera nécessairement linéaire, donnera une valeur de x qui sera aussi une des racines de la proposée; or il est facile de comprendre que cette valeur de x ne peut être que celle que nous avons trouvée en éliminant successivement les puissances plus hautes de x des deux équations données.

En effet, la méthode ordinaire d'élimination, suivant laquelle on fait disparaître successivement les plus hautes puissances de l'inconnue en déduisant, des deux équations données où la même inconnue se trouve élevée à des puissances quelconques, une suite d'autres équations où le plus haut degré de l'inconnue est successivement moindre, jusqu'à ce qu'on arrive à une équation où l'inconnue ne se trouve plus, et qui est le résultat de l'élimination; cette méthode, dis-je, revient dans le fond à la

même que celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur des deux quantités qui forment les premiers membres des deux équations données; les restes que l'on aura par les divisions successives qu'il faudra faire donneront, étant égalés à zéro, les mêmes équations que celles qui proviennent de l'élimination; le dernier reste où l'inconnue ne se trouve plus devra être égal à zéro pour que les deux quantités proposées aient un diviseur commun du premier degré, lequel sera par conséquent l'avant-dernier reste où l'inconnue ne sera que linéaire; de sorte qu'en égalant aussi à zéro cet avant-dernier reste on aura une valeur de l'inconnue qui sera la racine commune des deux équations.

Dans l'Exemple du n° 10 les équations (A) et (B) sont celles que l'on aurait en faisant égal à zéro l'avant-dernier et le dernier reste; par conséquent la valeur de x tirée de l'équation (A) est la seule qui puisse donner en même temps une racine de l'équation proposée.

12. A l'occasion de cette remarque, nous croyons devoir encore en faire une autre touchant la manière de faire en sorte que deux équations aient plus d'une racine commune; il est évident que si l'on veut qu'elles aient deux racines communes il faudra qu'elles soient divisibles exactement par un facteur du second degré; par conséquent, en cherchant le plus grand commun diviseur des deux quantités qui forment les premiers membres des équations proposées, dès qu'on sera parvenu à un reste où l'inconnue se trouvera au second degré, il faudra, pour que ce reste soit un diviseur commun des deux équations, que le reste suivant soit nul de lui-même; or ce dernier reste ne renfermera que deux termes, l'un où l'inconnue ne se trouvera pas, et l'autre où elle se trouvera à la première dimension; c'est pourquoi il faudra faire chacun de ces termes en particulier égal à zéro, ce qui donnera deux équations contenant les conditions nécessaires pour qu'il y ait dans les proposées deux racines communes. Ce serait la même chose si l'on voulait employer la voie de l'élimination; alors il faudrait s'arrêter à l'équation où l'inconnue serait au premier degré, et vérifier cette équation indépendamment de l'inconnue, en égalant à zéro l'un et l'autre des deux termes dont elle serait compo-

sée; moyennant quoi l'équation précédente du second degré renfermerait les deux racines communes aux deux équations proposées.

On voit par là comment il faudrait s'y prendre pour trouver les conditions qui donnent trois racines communes, ou davantage, à deux équations données; mais dès qu'on aura trouvé la condition nécessaire pour que ces deux équations aient une racine commune, on pourra aisément en déduire celles qui rendront deux ou plusieurs racines communes.

Pour cela, supposons que les deux équations données qui renferment une même inconnue x soient représentées, en général, par

P = o et Q = o ;

si, au lieu de prendre P = o, je prends P = y, et que j'élimine ensuite x des deux équations, j'en aurai une en y que je représenterai par

ym + ay"'-' -+-...-+- p j2 4- qy -+- r = o ;

or, pour que les deux équations P = o et Q = o aient une racine commune en sorte qu'elles puissent subsister à la fois, il faut que y ait une valeur égale à zéro; donc

sera la condition nécessaire pour l'existence d'une racine commune à ces deux équations; mais si l'on veut qu'elles aient deux racines communes, alors il faudra que y ait deux valeurs égales à zéro; par conséquent on aura les deux conditions

/■ = o et q = o ;

de même, s'il devait y avoir trois racines communes, il faudrait que y eût trois valeurs égales à zéro, ce qui donnerait les trois conditions

r = o, q = o et p = o, et ainsi de suite.

Je remarque maintenant que pour changer l'équation P = o en P — y, ou P— y=o, il n'y a qu'à diminuer le dernier terme de l'équation P = o de la quantité/; de sorte que si l'on suppose

P = x" -4- <xxn~ ' ■+-... -+- p,

il n'y aura qu'à écrire p — y à la place de p; or l'équation

ym j ay-m-\ ( | py.1 | g j ) r 0

est celle qui résulte de l'élimination de a? dans les deux équations P = y et Q = o (hypothèse); par conséquent, en y faisant y = o, l'équation r = o sera celle qui résultera de l'élimination de x dans les équations P = o et Q = o ; donc, ayant l'équation r = o, il n'y aura qu'à y substituer p —y à la place de p pour avoir immédiatement l'équation

y.m | aj»-l | | pj^2 ) g, j- | ,. — 0 ;

mais on sait que si r est une fonction de p et qu'on veuille y substituer p — y à la place de p, on aura, en employant les différentiations, la transformée

dr i d2 r „ i d" r ,

ap-7 2 apJ ^ 2.3 ap3 J

donc on aura, par la comparaison des termes,

dr i d2 r

* «p r 2 ap2

d'où je tire cette conclusion, que si

est la condition nécessaire pour que les équations P = o et Q — o aient une racine commune, on aura, pour les conditions de deux racines communes,

dr /• = o et -y- z=o:

pour trois racines communes,

dr d2

î- = ° et j-

' p dp

r = O, -;— = O et -j—r = O,

dp dp2

et ainsi de suite, p étant le dernier terme de l'une des équations proposées.

13. Il est clair au reste que les racines de l'équation en j.ne sont autre chose que les valeurs de P qui résultent en substituant à la place de x chacune des racines de l'autre équation Q = o, que nous désignerons par x', x", x'" ; donc, si l'on suppose que P', P", P'",... soient les valeurs de P qui viendraient de ces substitutions, c'est-à-dire où l'on aurait mis x', x", x'",... à la place de x, on aura

d'où l'on voit que l'équation r = o, résultante de l'élimination de l'inconnue x des deux équations P = o et Q = o, n'est autre chose que lé produit de toutes les équations particulières

or ce produit P'P'P". .. peut toujours se trouver sans connaître les racines de l'équation Q = o, comme il est facile de s'en convaincre en considérant que le produit en question demeurera toujours le même, quelque permutation qu'on y fasse entre les racines x', x", x'". ..., c'est-à-dire entre les quantités P', P", P'",... qui sont des fonctions semblables de ces racines; de sorte qu'il doit être donné par une équation linéaire et sans extraction de racines. En effet, les multiplications des quantités P', P", P'",... étant faites, on trouvera toujours que les différentes fonctions de x', x" , x'",... qui entreront dans le produit total seront exprimables par les seuls coefficients de l'équation Q = o, dont x', x", x'",... sont les racines. On peut consulter là-dessus V Introduction à. l'Analyse des lignes courbes de M. Cramer, où l'on trouvera des règles pour calculer toutes les fonctions dont il s'agit, et avoir par conséquent la valeur du produit P'P'P"...; nous avons aussi traité ce sujet dans un Mémoire particulier, où nous avons donné des formules générales pour trouver immédiatement la valeur du même produit, sans passer par les différentes opérations que la méthode de M. Cramer exige ('); ainsi nous ne nous arrêterons pas davantage là-dessus. Nous nous contenterons seulement de re-

(*) OE itères de Lagrange, t. III, p. M'-

marquer que, de ce que l'équation résultante de l'élimination de x par le moyen des équations P = o et Q = o peut être représentée par

il s'ensuit que cette équation doit être telle, que les coefficients de l'équation P = o y forment partout des produits d'autant de dimensions qu'il y a de quantités P', P", P", ... ou de racines x', x", x'",:.. dans l'équation Q = o, c'est-à-dire autant qu'il y a d'unités dans le degré de cette dernière équation; il en sera de même des coefficients de l'équation Q = o, qui devront former partout dans la même équation résultante de l'élimination des produits d'autant de dimensions qu'il y a d'unités dans l'exposant du degré de l'autre équation P = o.

14. D'où l'on peut conclure, en général, que, suivant la méthode de M. Tschirnaus, on aura toujours une transformée en y du même degré que l'équation proposée, et que dans cette transformée les quantités y,

a, b, c (y compris l'unité, coefficient de la plus haute puissance de x

dans l'équation supposée) formeront partout des produits du même nombre de dimensions, c'est-à-dire d'autant de dimensions qu'il y a d'unités dans le degré de la proposée.

Ainsi, supposant que l'équation proposée dont x est l'inconnue soit du degré m, et qu'on prenne une équation subsidiaire telle que

y -+- a -+- bx -+- ex' -+- . . . = xr, on aura une transformée en y du degré m qui, étant représentée par

y.m + \yfn-l , Jj»-I + Q y*n-3 -|- . . . = 0>

sera telle que le coefficient A sera une fonction linéaire de a, b, c,..., que le coefficient B sera une fonction de deux dimensions des mêmes quantités, que le coefficient C en sera une de trois dimensions, et ainsi de suite.

Et en général le coefficient du terme nième sera toujours une fonction rationnelle et entière de a, b, c,... de n — i dimensions. Ainsi, prenant

autant d'indéterminées a, b, c,... qu'il y a de termes à faire disparaître, il est clair que pour faire disparaître le second terme on n'aura qu'à résoudre une équation du premier degré à une seule inconnue; pour faire disparaître le second terme et le troisième il faudra résoudre deux équations à deux inconnues, l'une du premier degré et l'autre du second, ce qui donnera toujours une équation finale du second, comme nous l'avons vu plus haut; pour faire disparaître le second terme, le troisième et le quatrième, on aura à résoudre trois équations à autant d'inconnues, dont l'une sera du premier degré, la seconde du second degré et la troisième du troisième degré, en sorte que l'équation finale sera, en général,, du degré 1.2 .3 = 6.

En général, pour faire disparaître à la fois les termes p'éme, qiime, r'eme, . . . , on aura à résoudre autant d'équations qu'il y aura de ces termes, avec un même nombre d'inconnues, et ces équations seront des degrés/? — 1, q — 1, r — 1,..., en sorte que l'équation finale montera, en général, au degré (p — 1) {q — i) (r — i).... Donc, pour chasser par cette méthode tous les termes intermédiaires de la transformée

jm | p^ym-l j JJ^m-2 -4- . . . + M = O,

en sorte qu'elle se réduise à la forme ym + M = o qui est toujours résoluble, on tombera, en général, dans une équation du degré 1.2. 3... (m— i), qui sera par conséquent toujours plus haut que le degré m de la proposée, excepté le seul cas où m = 3.

15. Revenons maintenant à la résolution du troisième degré trouvée d'après la méthode de M. Tschirnaus, et voyons à priori, et indépendamment de la théorie de l'élimination que nous venons d'expliquer, la raison pourquoi cette méthode conduit directement à une réduite du second degré, tandis que la méthode ordinaire mène à une réduite du sixième. Pour cela je considère l'équation subsidiaire

x2 = bx -h a -f- y, dans laquelle y doit être déterminé par une équation du troisième degré

à deux termes telle que

jr' + C = o,

dont les racines sont

y = — {/C, y = — a Î/C, y = — a? IjC ;

et je remarque que ces trois racines devant répondre aux trois valeurs de x qui sont les racines de la proposée

x3 + mx2 -l- nx -+- p = o,

on aura donc, en désignant ces dernières racines par x', x", x'", les trois équations suivantes

/ x'- = bx' -ha — y/C, (C) . < x"2 = bx" 4- a — a \JC,

\ x'"-=: bx'"-\- a — oc2^C,

d'où l'on pourra tirer les valeurs de a et b, après avoir chassé y'C; pour cet effet, il n'y a qu'à ajouter ensemble les trois équations dont il s'agit, après avoir multiplié la seconde par a. et la troisième par a2 ; car on aura, à cause de a." = « et de i + a. + a2 = o, comme on l'a déjà vu plus haut, on aura, dis-je,

x'1 -\- acx"2 -h cêx'"'1 = b [x' + ccx" -+- cl1x"' ),

d'où l'on tire

. xn -+- a.x"2 -+- oi-x"'"-

x' -f- <xx" -+- a.2x'"

Cette expression de b doit nous faire juger immédiatement du degré de l'équation par laquelle la quantité b doit être déterminée; en effet, il est clair que cette équation doit avoir autant de racines qu'il peut y avoir de valeurs de b; or les différentes valeurs de b ne peuvent venir que des permutations qu'on peut faire entre les racines x', x", x'"; et ces permutations sont au nombre de six, comme nous l'avons déjà remarqué plus haut (voyez les n05 6 et suivants, où les lettres a, b, c désignent les mêmes quantités qui sont nommées ici x', x", x'"); ainsi la quantité b 111. 3o

pourra avoir en tout six valeurs, qui seront

-+■ <xx"

ai'

+ ax""

-+- ax'"

+ ax'"2 +

' -\- ax"

-+- ax'2

' -h ax'

-h ax'-

" -h ax'

-h ax"2 -f-

de sorte que, généralement parlant, l'équation en b devrait être du sixième degré; mais j'observe que des six valeurs précédentes la première, la troisième et la cinquième sont égales, ainsi que la seconde, la quatrième et la sixième. En effet, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la première par a, ce qui ne la change pas, elle devient la cinquième, à cause de a3 = i et de a4 = a; et multipliant par a2, elle devient la troisième ; de même, en multipliant le haut et le bas de la seconde par a, on aura la quatrième, et en multipliant par or, on aura la sixième. Donc l'équation en b du sixième degré aura nécessairement trois racines égales entre elles et trois autres aussi égales entre elles; ce qui l'abaissera au second degré, puisqu'elle ne pourra être que le cube d'une équation du second degré; et voilà pourquoi la quantité b est donnée simplement par une équation du second degré, comme nous l'avons vu ci-dessus (10). A, l'égard de la quantité a, si l'on ajoute ensemble les trois équations (C), on aura, à cause de i + a -+- a1 = o,

x'2 -+- x"2 -+- x'"1 =4(j'+ x" -+- x'" ) -+- 3 a ; niais on a

x' -+- x" -+- x'" = — m et x'2 -+- x"2 -+- x'"2 = m2 — a n ; donc

ni2 — 2.n ■= — bm -h 3a,

et de là

bm -h m2 — 2 «

de sorte qu'en connaissant la valeur de b on connaîtra aussitôt celle de a. 16. La formule

xn -+- ax"2 ■■+■ a3x'"' x' -+- ax" -\- a2x'"

qui exprime la valeur de b, est donc très-remarquable en ce que, quelques permutations qu'on y fasse entre les quantités x', x", x'", elle ne peut que demeurer la même, ou se changer en cette autre-ci

de sorte que ces deux quantités ne peuvent être que les racines d'une équation du second degré; on pourrait trouver à priori cette équation en cherchant la somme et le produit des deux quantités dont il s'agit, et il en résulterait après le calcul achevé une équation telle que l'équation en b qu'on a trouvée plus haut (10).

On peut encore remarquer que si l'on multiplie ensemble les deux dénominateurs

x' -\- ax" + a2x'" el x' -h ax'" -\- a2x",

on aura pour produit

x'1 -+- x"- -h x'"2 -b- ( a H- ce2 ) ( x'x" -+- x' x'" -+- x" x1" ) ;

mais

x" -+- x"2 -+- x'"1 = m2 — a n, x'x" -+- x'x'" + x" x'" = n et a -h x2 = — i ;

de sorte que ce produit deviendra m2 '— 3n. De plus, si l'on multiplie le numérateur

x'2 -+- ax"2 -I- a2x'"2

par le dénominateur

x' -f- ax'" -i- a2x",

236 SUR Lk RÉSOLUTION ALGÉRRIQUE

on aura pour produit la quantité

x'3 -h x"3 -h x"'3-h <x{x''lx'" -\- x"2x' + x'"2x") + a'{x"2x" -h x"2x'"-\- x'"2x' ),

laquelle (à cause que x', x", x'" sont les mêmes racines que nous avons nommées ailleurs a, b, c) se réduit (7) à

ou bien à

puisque x' x" x'" — — p; de sorte que la fraction

xn -+- ax"2 -+- a2x'"2 x' -+- ax" -f- oOx'"

deviendra, en multipliant le haut et le bas par x ' + ax'" +- crx", celle-ci

L + 6p + aM + «2N m2 — 3re

et de même l'autre fraction

x'2-h ax'"2 -h a2x"2 x' -+■ ax'" -+- a2x"

deviendra, en multipliant le haut et le bas par x'-h ax" + a'2x'",

L + 6/> -+- ctN -+- a2M m2 — 3 «

Mais dans le numéro cité on avait

r3=L + 3aM + 3a2N et s3 = L H- 3aN -+- 3 «'M ;

donc

«M -H a2N = — = — .et «N -+- a2M :

par conséquent les deux fractions dont il s'agit seront

ou bien (8)

z' -h 2L -h i8p z"-hih + i8p

3(m2-3re) et 3(m2—3n) '

z' et z" étant les racines de l'équation

z'+(îm!- grnn -t- 27/)) 2 + (m!-3n)! = o

qui est la réduite que donne la méthode de Cardan.

Ce qui fait voir clairement la liaison et l'analogie de cette méthode avec celle de Tschirnaus.

17. L'expression de x trouvée (10) d'après la méthode de Tschirnaus peut se mettre évidemment sous cette forme

/, g et k étant des indéterminées et y la racine d'une équation du troisième degré à deux termes telle que

jr3 -+- h = o.

Ainsi il n'y aurait qu'à éliminer y par le moyen de ces deux équations, dont la première donne

f-hx

ce qui étant substitué dans la seconde, il vient

équation du troisième degré qu'on pourra comparer avec la proposée; et cette comparaison servira à déterminer les quantités/, g, k, h, dont une restera arbitraire et pourra être prise à volonté.

Cette méthode de résoudre les équations du troisième degré a déjà été employée par M. Bezout dans un excellent Mémoire qu'il a donné sur cette matière dans le volume des Mémoires de l'Académie des Sciences de

Paris, pour l'année 1762, et dans lequel l'Auteur a fait un usage utile et heureux de ces substitutions pour résoudre une classé très-étendue d'équations de tous les degrés. Nous nous contenterons de remarquer ici que si l'on voulait savoir d'avance ce que l'on peut se promettre des substitutions dont il s'agit pour la résolution des équations du troisième degré, il n'y aurait qu'à chercher àpiiori le degré et la forme de l'équation qui donnera l'un des coefficients/, ou g, etc.; pour cela on considérera que, puisque yz -t- h = o, on aura ces trois valeurs de y, savoir — y/Â, —a\/h, —a2\/7i, lesquelles étant substituées dans l'expression de

x=f±sr

k-hy

donneront les trois valeurs de x, savoir x', x" , x'". Ainsi prenant l'équation

bien

déduira ces

trois- ci

kx'

-g)l/Ti = 0,

kx"

kx'"

-g)Vh =

qui étant d'abord ajoutées ensemble donnent, à cause de x' -\-x"-\- x '"= — m et 1 + a. -+- or = o,

mk -h 3y-f {x' -h acx" -+- a? x"' ) Jh = o;

de plus, multipliant la seconde par a et la troisième par or, el les ajoutant ensuite toutes trois ensemble, on aura

k(x' -+- ocx" -h x2x'") — (x' -h a-x" -+- eux1") \j h = o.

Celle-ci donne

3/T k ( x' ■+- a x" -+■ a}x'" ) V " = î m i — Ti — '

et, cette valeur étant substituée dans la première, on aura en divisant

par k

3f ( x' -f- xx" -+- cc2x"' )2

k x -+- xx + x2x

d'où l'on tire

Il est d'abord facile de voir par celte expression que la quantité v ne peut

avoir que deux valeurs différentes, et que par conséquent elle ne pourra être donnée que par une équation du second degré; car la fraction

(x' -h ax" H- x2x'" )2 x' -+- xx'" + a?x"

ne peut que demeurer la même, ou se changer dans la fraction

[x' -h xx'" •■(- x-x" f x -+- xx ' + x-x

en faisant telle permutation que l'on voudra entre les trois racines x', x", x'". C'est ce qu'on comprendra encore plus aisément en multipliant le haut et le bas de la première fraction par

et le haut et le bas de la seconde par

x' -t- xx'" -\- x2x" ; car alors elles deviendront (16)

{x' -+- xx" -+■ x2x'" f ( x' -l- xx'" -t- x2x" )3

m2 — 3 ii m2 — 3 m

c'est-à-dire (7)

m2 — Sn m' — Sn

ou bien

— \ 5~ et — - 7— ;

m2 — 3 n m2 — Sn

f de sorte que les deux valeurs de v seront

et — — —

z et z" étant les racines de l'équation en z donnée ci-dessus.