Reprenons l'expression de x

et comme y est un radical donné par l'équation y s -+- h = o, faisons évanouir ce radical du dénominateur k-+-y en multipliant le haut et le bas de la fraction par k- — ky-v- y2, ce qui la changera en celle-ci

k>f + ( k2g ^kf)y + { f- kg)y2 + gj» | k3 -f- j3

c'est-à-dire, en substituant —A à la place de y3,

k2f —lig+( k2g — */) r + ( /— kg) r2

k*-h quantité qu'on peut réduire à cette forme plus simple

a -+- by -+- cy2, de sorte que l'on aura, en général,

x = a -+- by -f- cy2,

a, b, c étant des coefficients indéterminés et y la racine d'une équation du troisième degré à deux termes telle que y3 -+- h = o.

Cette expression de x est la même que MM. Euler et Bezout ont adoptée pour exprimer les racines des équations du troisième degré, et que ces Auteurs croient pouvoir étendre, en général, aux équations de tous les degrés. Voyez les Nouveaux Commentaires de Pétersbourg , tome IX, el les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris, pour l'année i 766.

Pour résoudre donc les équations du troisième degré d'après cette nié-

thode, il n'y a qu'à éliminer y par le moyen des deux équations

x ■=. a + by ■+■ cy2 et y3 -+- h = o,

ce qui donnera nécessairement une équation en x du troisième degré, comme on peut s'en assurer par la théorie de l'élimination que nous avons donnée plus haut; cette équation étant ensuite comparée terme à terme avec la proposée donnera trois équations par lesquelles on pourra déterminer trois des quatre indéterminées a, b, c, h, la quatrième pouvant être prise à volonté. M. Bezout fait d'abord, pour plus de simplicité, h= — i ; mais M. Euler conserve dans le calcul toutes les indéterminées, et il prend ensuite égale à l'unité celle qui lui parait devoir donner un résultat plus simple; c'est toute la différence qui se trouve entre les procédés de ces deux Auteurs.

19. Pour apprécier cette méthode à priori, nous allons chercher d'après nos principes la forme et le degré des équations finales qui serviront à la détermination des coefficients a, b,...; et comme l'équation y'-1 -|- A — o donne les trois racines — \jh, — v.\jh, — a* y h, il est clair qu'on aura sur-le-champ les trois équations

x' = a — b \J h -+- C y/A2, .r"= a — ab <J II H-a2Cy//(% x'"~ a — ofbsj A -t- oc e \j h2,

qui étant ajoutées ensemble donneront d'abord

ensuite, multipliant la seconde par or, la troisième par a et les ajoutant toutes trois, on aura

x' + a2x" ■+- acx'"= — 36 /A ;

enfin, multipliant la seconde par a, la troisième par a2 et les ajoutant de même, on aura