X -+■ OCX -+- OCX

x' -+- ocx" -t- oO-x'"

Or ces expressions sont les mêmes que celles que nous av.ons trouvées plus haut pour les racines de la réduite du troisième degré d'après la règle de Cardan; de sorte qu'on peut conclure d'abord que les quantités b etc seront données par une même équation du sixième degré résoluble à la manière de celles du second, et qui sera (5)

/ tnn 2.m3\ i / m2

c'est aussi ce que M. Bezout a trouvé d'après son calcul.

Mais si, au lieu de supposer avec M. Bezout h= — i, on fait avec M. Euler b — i , on aura

x' -h ax'" -\- oc* x" = — 3y//i et x' + ot. x" -\- oc*x'"= 3c \Jh2;

la première étant élevée au cube donnera

— h = — (x'-+- acx'"-h o?x"Y,

ou bien, en adoptant les dénominations du n° 8,

/ — il — —

d'où l'on voit d'abord que la quantité —h sera donnée par une simple

équation du second degré, dont les racines seront — el — Ayant

trouvé h, il n'y aura qu'à multiplier la première équation par la'seconde pour avoir

— ge/i = [x1 •+ ax" -h a2x'" ) (x' -+- x x'" 4- ot}x"),

ce qui se réduit (16) à

— 9c/t = m1 — 3 ra,

DES EQUATIONS. 243

d'où

20. Telles sont les principales méthodes qu'on a trouvées jusqu'à présent pour résoudre les équations du troisième degré. Par l'analyse que nous venons d'en faire il est visible que ces méthodes reviennent toutes au même pour le fond, puisqu'elles consistent à trouver des réduites dont les racines soient représentées en général par x'-*rix.x"-\-aix1"', ou par (x'-+- ocx"-\- a'-x'")3, ou bien, ce qui est la même chose, par des quantités proportionnelles à celles-ci. Dans le cas où la racine de la réduite est x' + ax"-h orx'", cette réduite est du sixième degré, résoluble à la manière du second parce qu'elle ne renferme que la troisième et la sixième puissance de l'inconnue. Nous en avons donné la raison dans le n° 6. Dans l'autre cas, où la racine de la réduite est (x'-h ax"-h a2x'")3, cette réduite ne peut être que du second degré, ce qui suit nécessairement du cas précédent, et que nous avons aussi démontré d'une manière directe (9).

21. Avant de terminer cette Section nous dirons un mot de la résolution de l'équation

dont nous avons supposé les racines i, a et/3; et nous ferons en même temps quelques remarques sur la résolution générale de l'équation

lesquelles pourront nous être utiles dans la suite.

Il est d'abord clair que l'unité est une des racines de l'équation x3 — i = o, de sorte que pour trouver les deux autres il n'y aura qu'à diviser d'abord cette équation par x — i, ce qui donnera celle-ci

d'où l'on tire

Ainsi l'on aura

— i + 1/^3 . — i — J^H a= ï et 3= ï ,

et il est facile de se convaincre que j3 est en effet égal à a-, comme nous l'avons déjà trouvé à priori; car faisant le carré de a. on a

,-3s/ZT3-3=-.->/=r3 = ^

En général, soit l'équation à deux termes

on remarquera d'abord que si n est un nombre composé, en sorte que n=pq, la résolution de cette équation se réduira toujours à celle de deux équations semblables, l'une du degré/? et l'autre du degré q. Car, faisant xq =y, on aura xn =yp, et par conséquent

jrP — i — o.

Supposons donc qu'on ait résolu cette équation du degré p et que « soit une des racines, on aura ensuite

xi — a. = o,

ou bien, faisant x = t y«,

ti — i = o;

et cette nouvelle équation étant résolue, on aura la valeur de t et par conséquent celle de x.

De là on voit que la difficulté de résoudre l'équation x" — i = o, lorsque n est un nombre composé, se réduit à résoudre autant de pareilles équations que n a de facteurs simples, et dont les degrés soient ces mêmes facteurs de n.

Ainsi toute la difficulté consiste à résoudre l'équation x" — î = o lorsque n est un nombre premier.

Considérons, en général, le cas où n est impair, en sorte que l'équation à résoudre soit

puisque l'unité est toujours une des valeurs de x, on pourra diviser par x — i, et le quotient sera

Or cette équation qui est du degré ip peut toujours s'abaisser au degré/?, car, en la divisant par xp et mettant ensemble les termes qui sont également éloignés de celui du milieu, on aura

XP -\ 1- XP~' H 4- . . .4- X2-\ -4- X H hl = o.

XP xf~' X2 X

Qu'on fasse x -\ — = y et élevant y au carré, au cube, etc., on trouvera

y* = x2 4- ij + 2, y3 = x3 + -i 4- 3 (x -4- ±- ) , • • ■ ;

donc

x2 -i = r2 — a, xs H = r3 — 3 r,

et, en général,

xr h — - = jr — /■ y~2 -+-

en ne continuant la série que tant que l'on aura des puissances positives de j.

Faisant donc ces substitutions dans l'équation ci-dessus, on aura une transformée en y où toutes les puissances de y seront positives et où la plus haute sera yp, de sorte que l'équation ne sera plus que du degré pième.

Donc, si l'on peut résoudre cette dernière équation, on aura p valeurs de j, dont chacune donnera ensuite deux valeurs de x par la résolution de l'équation quadratique

x2 — xy -+- i = o ;

moyennant quoi on aura ip valeurs de x, auxquelles joignant la première racine o? = i, on aura toutes les racines de l'équation

Ainsi l'on pourra avoir par l'extraction de la seule racine carrée les

racines des équations

x- — i = o, x3 — i = o et xl — i = o ; par conséquent on pourra résoudre de même toute équation

lorsque n ne contiendra d'autres facteurs simples que 2, 3 et 5, c'est-àdire lorsque n sera de la forme 1' . 3t\5v. En admettant la résolution des équations du troisième degré, on pourra résoudre encore l'équation

et par conséquent toute équation

lorsque n sera de la forme ix. 3P..5*. 7CT.

Mais on ne saurait aller plus loin, puisque, le nombre premier qui suit 7 étant 1 1, il faudrait pouvoir résoudre l'équation

ce qui demanderait la résolution d'une équation du cinquième degré.

Cependant on peut toujours exprimer les racines de toute équation oc" — 1 = o, quel que soit n, par la division de la circonférence du cercle en n parties, comme on le verra ci-après.

22. La méthode que nous avons employée pour abaisser l'équation

au degré/? peut s'appliquer, en général, à toute équation d'un degré pair, et où les coefficients des termes équidistants de celui du milieu sont les mêmes; car prenant l'équation

x*p -f- ax2''-' -t- bx2f-'2 ■+- . . . 4- bx2 + ax -+- i = o,

et la divisant par xp, elle pourra se mettre sous la forme

H- b xP~2 H

\ xf-

de sorte qu'on y pourra faire usage des substitutions

au moyen desquelles la transformée en y ne sera que du degré plème. Si l'on avait l'équation du degré impair ip -+- 1 ,

j'f+l -4- ««v -i- bx2?-' -+- . . . 4- /w+l -+- A.atf' -h . . . + 6x2 + m + i = o,

on la disposerait d'abord ainsi

/v+' ■+ i-h ax [x2r-' -f- 1) -+- 6x2 (x2''-3 + i)+...+ Ax'' («+i)=o,

où l'on voit que chaque terme est divisible para; -+- 1 , et, la division faite,

on aura

-t- ax (xV-2 -h x'p-3 -+-... + i) -t- bx2(x2P-> -h x'P-t H- . . . + i)

-I- hxP

équation qui, étant ordonnée par rapport aux puissances de x, se trouvera dans le cas de l'équation ci-dessus et pourra par conséquent s'abaisser par la même méthode au degré p.

M. de Moivre est, je crois, le premier qui ait remarqué cette propriété des équations dont nous parlons, et il a donné dans ses Miscellanea analytïca la formule générale de la transformée dont le degré n'est que la moitié de celui de la proposée. Nous donnerons plus bas la raison à priori pourquoi ces sortes d'équations sont susceptibles d'une pareille réduction .