Reprenons la formule trouvée dans le n° 21 , savoir

et remarquons que, par les théorèmes connus de la multiseetion angulaire, la quantité

représente, dans un cercle dont le rayon est égal à i, la corde du complément à i8od d'un arc ruple de celui dont la corde du complément serait y; de sorte qu'en nommant ce dernier arc 2<p on aura

, '•('■ — 3) y=:2C0Scp ei yr — ry'-- -\ yr~* — . . .= acos/'cp,

les cordes des compléments étant, comme on sait, égales aux doublés des cosinus de la moitié des anales.

Ainsi faisant ce h — ==2 cos<p, on aura, en général, x"-\ — - = 2 cos/zcp ;

par conséquent les deux équations

x2 — ix cos<p .-+■ 1 = o, x2" — ix" cosrtcp +1 = 0

subsisteront à la fois, quel que soit le nombre n, en sorte que la première sera nécessairement un diviseur de la seconde; c'est le fondement du fameux théorème de M. Cotes.

Maintenant, si l'on résout ces deux équations à la manière des équations quadratiques, on aura ces deux-ci

x — cos cp ± sin cp y/ — 1 , x" = cos n cp ± sin n cp y — 1 ,

où il est facile de prouver que les signes ambigus doivent être les mêmes dans l'une et l'autre; car supposant 0 très-petit, on aura, aux infiniment petits du second ordre près,

coscp = i, sincp = cp, et de même cos«9 = i, sin»cp = recp,

de sorte que les deux équations deviendront

X = 1 ± Cp y ' — I ,

x"= 1 zh «cp y7 — 1 ;

or, en élevant la première à la puissance n, et négligeant le carré et les puissances plus hautes de f, on aurait

valeur qui devant être la même que celle qui est donnée par la seconde équation, on en conclura l'identité des signes ambigus -+- ou — dans les deux équations. Faisant donc abstraction de l'ambiguïté des signes, il est clair que

x = cos cp -+- sin 9 y/ — i

sera la résolution de l'équation

x" — cos ny — sin ny y/ — i = o.

Donc, si l'on suppose sinrny = o et coswy = i , ce qui donne ncp = 36od ou = 720e1, ou, en général, égal à m x 36od, m étant un nombre entier quelconque, on aura l'équation

dont la résolution sera, à cause de <p = — x 36od,

x = cos ( — x 36od ) + sin ( — x 36od ) y/— i .

Cette expression est générale pour chacune des racines de l'équation proposée xn — i = o, et on les aura toutes en faisant successivement m = i, 2, 3,..., jusqu'à n inclusivement; il serait inutile de faire m> n, puisqu'il en résulterait de nouveau les mêmes valeurs que lorsque m •< n.

24. Nous remarquerons d'abord sur cette solution que toutes les racines de l'équation x" — i = o doivent être différentes entre elles, puisque dans la circonférence il n'y a pas deux arcs différents qui aient un même sinus et un même cosinus à la fois. De plus il est facile de voir que toutes les racines seront imaginaires, à l'exception de la dernière qui répond àm = /i et qui sera toujours égale à i , et de celle qui répon- III. 3a

dra à m = -> lorsque n sera pair, laquelle sera égale à — i ; car pour que la partie imaginaire de l'expression de x disparaisse, il faut que l'on ait

x 36od ) = o,

ce qui n'arrive que lorsque l'arc est égal à 36od ou à i8od; de sorte qu'on

aura ou — = i ou = -> et par conséquent oum = HOum=-; dans

le premier cas la partie réelle cos (— x 36od) deviendra cos36od = i; et

dans le second elle deviendra cos 1 8od = — i . Maintenant, si l'on fait

36od . 36od , — a = cos h sin J— i,

on aura par les formules ci-dessus

a!" = cos ( — X 36od ) + sin I — X 36od ) <J— 7;

de sorte que les différentes racines de xn — i = o seront toutes exprimées par les puissances de la quantité oc; et qu'ainsi ces racines seront oc, a2, a3,..., ex", dont la dernière oc" sera toujours égale à i, ce qui est. évident par l'équation même x" — i = o, laquelle doit donner a" — i = o, et dont

celle qui sera représentée par oc', lorsque n est pair, sera égale à — i, comme on l'a vu plus haut.

Il est bon d'observer ici que si n est un nombre premier, on pourra toujours représenter toutes les racines de x" — i = o par les puissances successives d'une quelconque de ces mêmes racines, la dernière seule exceptée; car soit, par exemple, n= 3, les racines seront a, x-, a3; si l'on prend à la place de a la racine suivante or, on aura les trois racines «-, oc'', a"; mais, à cause de oc3 = i, il est clair que oc'' = a et que a6 = a3; de sorte que ces racines seront a2, a, a3, les mêmes qu'auparavant; de même, si n = 5, les racines seront a, oc2, oc3 , oc'', a5; et si l'on

prend la racine a2 au lieu de la racine a, on aura celles-ci a2, a*, a0, v.s, <x'°, lesquelles, à cause de oâ = i, deviennent a.2, a', oc, a3, a5; quesi l'un prend à la place de a. la racine a3, on trouvera de même, en rabattant des exposants de a. qui surpassent 5 le nombre 5 autant de fois que l'on peut, on trouvera, dis-je, les racines a3, a, a\ or, a5; enfin, prenant pour a la racine a\ on trouvera celles-ci a4, a3, a2, a, a5; de sorte qu'on aura toujours les mêmes racines, mais dans un ordre différent.

En général, soit a'" une quelconque des n racines a, a2, a3,..., a", m étant plus petit que n, et n étant un nombre premier; prenant cette racine à la place de a, on aura celles-ci a'", a2'", a3'",..., a"'"; or, si l'on retranche des exposants im, 3m, l\m,..., lorsqu'ils surpassent n, le plus grand multiple de n qu'ils contiennent, et qu'on dénote les restes par/?, q, r,..., on aura les racines am, ap, aq , a' ,..., a"; et je dis que les nombres m, p, q, r,..., n, dont aucun n'est plus grand que n, seront nécessairement tous différents entre eux; car si deux quelconques comme/? et r étaient égaux, comme ces nombres ne sont que les restes des nombres 277i, I\m, après en avoir retranché les plus grands multiples de n, il est clair qu'il faudrait que la différence de ces derniers i m, [±m, fût divisible par n ; ce qui ne se peut tant que n est premier et m<C n. Donc, puisque les nombres m, p, q, r,..., dont le nombre est n — i , sont tous différents entre eux et tous moindres que n, il est clair qu'ils ne peuvent être autre chose que les nombres i, i, 3,..., n — i; par conséquent les racines a'", up, aq, ar,..., a" seront les mêmes que les racines a, a'-. a3,..., a". Il est facile de voir que la démonstration précédente n'en subsistera pas moins lorsque n ne sera pas premier, pourvu que l'on prenne m premier à n; mais si m n'est pas premier à n, et que leur plus grande mesure soit /, on verra aisément que tous les nombres m, p, q, r,... seront mesurés par /; de sorte que ces nombres ne pourront être que des multiples de / moindres que n.

De là il est aisé de conclure, en général, que l'on peut représenter toutes les racines x, a2, oc3 ,..., a" de l'équation ;r" — i = o par les puissances ire, 2e, 3e nleme d'une quelconque de ces racines comme a"\

pourvu que m soit premier à n; mais que si m n'est pas premier à n, en

sorte que leur plus grande mesure soit /, on n'aura de cette manière que les seules racines a1, crl , oc31, . . . , a", donc chacune se trouvera répétée autant de fois qu'il y a d'unités dans j ; et il est facile de voir par les

formules ci-dessus que ces dernières racines seront aussi celles de l'équation x? — 1 = o, en supposant //"= n.

Or, comme les racines de l'équation xn — i = o sont représentées par

a, câ, a3, . . . , a",

et que a'1 = i , il est clair qu'on pourra les représenter aussi, si l'on veut, par

puisqu on aura - = a"-1 , — = a""2, ....

De plus, à cause que l'équation x11 — i = o manque du second terme, il est clair qu'on aura toujours, en général,

et de même

Et lorsque n est un nombre composé comme If, on aura en particulier

a' -h oc1 -+■ a3' + . . . + a" = o,

■J ai-1 ot3f

et de même

yJ -+- a}5 -1- a?f -+- . . . ■+ a." = o, iii i

c'est-à-dire que les sommes des puissances tant positives que négatives de a dont les exposants sont divisibles par / ou par/seront égales à zéro; par conséquent aussi la somme des puissances dont les exposants ne seront point divisibles par / sera nulle, comme aussi la somme de celles dont les exposants ne seront point divisibles par/. Ces différentes remarques pourront nous être utiles dans la suite.

25. Maintenant voici les valeurs de a. pour les équations .%"— i =o depuis n = i jusqu'à n = 6 :

y/5 — i s/io + 2^5

y/5 + I VIO — 2 y/5

y/5 + I y/lO— 2 y/5

Si l'on voulait avoir la valeur de a pour l'équation

il faudrait, comme on l'a dit plus haut, résoudre une équation du troisième degré. En effet, en faisant/? = 3 dans les formules du n°21, on trouvera cette transformée enj

yi | yï 2j. I = O,

qui, étant du troisième degré, aura toujours une racine réelle; et cette racine étant substituée dans l'équation

x2 — xy -+- 1 = o,

on en tirera x, ou

Quant aux équations

x' — i = o, xs — i = o et x" — i=o,

on en pourra aussi exprimer la racine a par de simples radicaux carrés; mais l'équation

exigerait la résolution de l'équation du cinquième degré .T5 -i- y* — 4j"3 — 3j"2 -4- 3jr -+- 1 = o,

laquelle étant supposée, on aura pour a la même expression en y que

ci-dessus.