DE LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU QUATRIÈME DEGRÉ
26. On sait que Louis Ferrari, contemporain et même disciple de Cardan, est le premier qui ait trouvé une règle générale pour la résolution des équations du quatrième degré. Sa méthode consiste à partager
l'équation proposée en deux membres, et à ajouter à l'un et à l'autre une même quantité telle, qu'on puisse extraire séparément la racine carrée des deux membres de l'équation, en sorte qu'elle soit par là abaissée au second degré. Cette méthode, qu'on peut regarder comme la plus ingénieuse de toutes celles qui ont été inventées depuis pour le même objet, a été adoptée par tous les Analystes qui ont précédé Descartes; mais cet illustre Géomètre a cru deyoir lui en substituer une autre moins simple à la vérité et moins directe, mais à quelques égards plus conforme à la nature des équations: c'est celle que la plupart des Auteurs suivent aujourd'hui. Nous commencerons donc par examiner ces deux méthodes l'une après l'autre; ensuite nous viendrons aux méthodes connues pour la résolution de ces sortes d'équations, parmi lesquelles on doit surtout distinguer celles de M. Tschirnaus et de MM. Euler et Bezout.
Je suppose d'abord avec Ferrari que l'équation du quatrième degré qu'il s'agit de résoudre soit privée de son second terme, ce qu'on sait d'ailleurs être toujours possible, en sorte que cette équation soit représentée ainsi
xk -+- nx2 -+- px -t- q = o.
Qu'on fasse passer dans le second membre tous les termes excepté le premier, et qu'ensuite on ajoute à l'un et l'autre membre la quantité 2jcc2 -+-y2, y étant une indéterminée, on aura
x* -+- iyx2 -f- y2 = ( ij — ri) x2 — px -t- y2 — q,
équation où le premier membre est évidemment le carré de x2 -+- y, de sorte qu'il ne s'agira plus que de rendre aussi carré le second; or pour cela il faut, comme on sait, que le carré de la moitié du coefficient du second terme —px soit égal au produit des coefficients des deux autres, ce qui donne cette condition
laquelle produit l'équation cubique
n , 4 nQ — P~
Supposant donc la résolution de cette équation en sorte qu'on connaisse une valeur de y, le second membre de la proposée deviendra
( 2f — II) \ X , f- ■ :
donc, tirant la racine carrée des deux membres, on aura
équation où l'inconnue a? ne monte qu'au second degré, et qui n'a par conséquent plus de difficulté. Faisons, pour plus de simplicité,
x' — zx -h r -h -1— = o, iz
d'où l'on tire sur-le-champ
ir
ou bien, en remettant la valeur de z,
sfzy —n-hi/~if—n —
sj?.y — n
et cette expression donnera à la fois les quatre racines de la proposée en prenant successivement les deux radicaux carrés en plus et en moins.
27. Nous remarquerons d'abord que cette méthode ne demande pas absolument l'évanouissement du second terme dans l'équation proposée, et qu'elle peut tout aussi bien s'appliquer aux équations complètes telles
que
x* ■+■ mx3 -+- nx2 -i- px + 5 = 0,
en supposant que le premier membre ne soit pas simplement le carré
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de x2 +j, mais celui de a?2 h i- y; en effet, en faisant passer comme
ci-devant les trois derniers termes dans le second membre et ajoutant de part et d'autre la quantité
on aura l'équation
2 y -+- -7- ] x' -+- m yx ■+■ y2,
I x- h h y \ =■ I 2 y -+- -^ « 1 ^2 + ( mj — p)x + y' — q.
On fera donc, pour rendre aussi le second membre carré, /'my — p
d'où l'on tire l'équation cubique
La valeur de jetant déterminée par cette équation, que nous appellerons dorénavant la réduite, si l'on fait, pour plus de simplicité,
/ „ mx \- „ / my — p
et, tirant la racine carrée des deux membres,
mx my — p
x' H h y = zx H >
ou bien
my — p
d'où enfin
1 T m I m? , 2 ( my — p ) "I
