III

et, remettant la valeur de z,

expression qui donnera pareillement les quatre racines de la proposée, en prenant successivement chacun des deux radicaux carrés qui y entrent en plus et en moins.

28. Puisque la réduite en y est du troisième degré, elle aura nécessairement trois racines, dont chacune pourra être également substituée dans l'expression de x, de sorte qu'à cause de l'ambiguïté des deux signes radicaux que cette expression contient, il en résultera douze valeurs de x; d'où il est aisé de conclure que la résolution précédente est essentiellement celle d'une équation du douzième degré.

Pour trouver cette équation, il faudra éliminer y de l'expression de x et en faire disparaître ensuite tous les radicaux, ou bien on pourra remonter d'abord à l'équation rationnelle

et il n'y aura plus qu'à en éliminer x après y avoir substitué pour z'- sa valeur

Supposons pour plus de généralité que la valeur de z2, au lieu d'être simplement iy -\- —, n, soit

il est évident que le coefficient >£ ne peut aucunement changer le degré auquel doit monter l'équation en x après l'élimination de y, on aura de

DES EQUATIONS, 259

cette manière l'équation

(my — p)2

k \?.y -\- —. n \x2 ■+- ' my — p ) x ■+-

4A- [iy -+- —. n\

ou bien, à cause de