Exemple 1. — Soit l'équation du second degré
a — bx -\- ex- —-- o :
on aura donc
X = h ex ;
donc
X2 — — - -4- iac -+■ c-x1,
Vl a4 haïe „ , , , , ., , . X4 = — + ?—„ h ba-c2-1,- !\aczxl -+- &x\
et ainsi de suite; donc
iac 4-3-«2e- 6.5.4.«3c3
a2 4ft3c 6.5.«4c2 S.7.6.û6c3 7 = 2T2 + ~JV + 2.6.6" + 2.3.8.6»
et par conséquent, en mettant x à la place de p,
a ac 3a2c2 5.4-«3c3 log* = log^ + F + -^ + -^-3-p-
x% a3 a4e ôa'e2 8.7.a6c3
et ainsi de suite; de sorte qu'on aura, en général,
x'" a"' am+' c {m-h3)a'"+'c2 ( m ■ -t- 5) (m + 4 ) a'"4"3 c3 m — m 6'" 6m+: 2 6"'-1-4 2.3.6","H
En effet, cette équation, étant résolue, donne
or, en réduisant en série le radical \Jb2— l\ac, on a
zac ( 2 ac f i . 3 ( 2 ac )3 1 . 3 . 5 ( 2 ac )
ou bien
, lac a2c- la3c3 6.5.a*& \
de sorte que les deux valeurs de x seront
a a2c La3c2 6.5.a*c3 b b' ib' 2.3.6'
or, celte dernière est précisément la même que celle que nous avons trouvée plus haut.
1 0. Comme toute la difficulté se réduit (8) à trouver les coefficients </„ j3, 7,... des puissances négatives de x dans la série
tâchons de rendre la recherche de ces coefficients aussi facile et en même temps aussi générale qu'il est possible. Pour cela, je remarque que
de sorte que, comme
X = \- ex — dx2 -r- ex3 — . . . ,
si l'on fait, pour abréger,
. ex — dx2 4- ex3 — .
on aura
s b2 ' 3 b3 b\ bx
M-^-iog/-
bx
de sorte qu'en réduisant ces deux logarithmes en série on aura
T + T¥ + 3F + 6ï+ ib1*1 + 3 63*3 + " '
et, par conséquent (8),
a a2 'i , bp o , ;>: . />3
-, h —, h.. .H K..= log-2-+r + -~; + v— 3
te 26'x- a a x «' 3^3
bx
Or, nous avons déjà vu plus haut (3) qu'on a, en réduisant en série,
!+ 1 i- T7-Ï + TT—i -+■■■■'
bx b'x2 b3x3
bx
ia 3a2 4fl3 bx b2x2 b3x3
bx)
2 \ bx b2x2
~ Ox)
et ainsi de suite.
Donc, si l'on suppose, en général,
\ = Td + mt X -h TSiX2 + ïï, X3 + .
on trouvera, en faisant abstraction des termes qui renfermeraient des puissances positives de x,
■ = 5J + TOi t + TO2 j-z -+- 7S3 y- + . . .
a „ à1 , a3 p + ap, ^ -4- 3p; p + 4.p3 + . . .
a2 , «3 „ «4 3pp+4p^+5p^+...
