X -+- A ff re
ce produit étant égalé à zéro. Faisons, pour abréger,
et, supposant
B = — ihx\
y y'2 j yT/î __j «^'"2
on trouvera, pour le produit dont il s'agit,
A3+A2 Ba + A2 Cy +AB2(3 +ABC (« (3 — 33) +AC2e + B3Ô + B2Ca<5 + BC2(3ô + C3Ô'.
Mais faisant encore, pour abréger,
n mp — kq p2—{/jn—m2)q
en sorte que l'équation en y soit représentée par
yz — ay2 -t- by — c = o,
on aura, comme on sait, par la nature des équations,
an = a, (3 = 6, S = c,
et de là
y = a- — ib, î = b2—2ac.
Donc l'équation cherchée, résultant de l'élimination de /dans ces deux-ci
A -f- By -+- Cy2 = o,
y3 — ay2 -h by — c = o,
sera
A3 + «A2B-f- \a-—ib) A2C-f-6AB2+ lab — 3c) ABC
+ (62— icœ) AC2+ cB3-t-«cB2C + bcKC2+ c2C3= o.
-nk;
Si l'on remet maintenant dans cette équation les valeurs de A, B, C et de a, b, c, on aura une équation en x qui montera au douzième degré, puisque A contient toutes les puissances de a: jusqu'à la quatrième inclusivement, que B contient simplement a?2, et que les autres quantités ne renferment point x.
Ainsi la résolution de cette équation du douzième degré sera comme ci-dessus
en supposant
et il n'y aura point ici de racines superflues, puisque les trois valeurs de y, combinées avec les signes ambigus des deux radicaux, donneront précisément les douze racines de l'équation dont il s'agit.
Faisons à présent k = i pour avoir le cas du n° 27; donc h = o, et par conséquent
A = X — xi + mx3 -t- nx2 -+■ px H- q, B — o, C — o ; ainsi l'équation dont il s'agit se réduira à A3 — o, c'est-à-dire à celle-ci
(x' -+- mx3 -+- nx' -h px -i- q )3 = o,
qui n'est autre cbose, comme on voit, que l'équation proposée élevée au cube, de sorte qu'elle doit avoir les mêmes racines que cette dernière, mais chacune triple.
On voit par là bien clairement la raison pourquoi l'expression trouvée pour la racine d'une équation du quatrième degré renferme réellement douze racines, qui se réduisent cependant à quatre, puisque chacune d'elles en a deux autres qui lui sont égales. De plus la démonstration précédente fait voir que les racines égales ne viennent que de l'élimination de j, et nullement de l'ambiguïté des radicaux, puisque c'est l'élimination de y qui fait monter dans l'équation résultante la quantité X
au cube; d'où l'on peut conclure d'abord que, quelque valeur de y que l'on emploie dans l'expression de x, on aura toujours les mêmes quatre racines.
29. Mais, pour éclaircir encore davantage cette matière, on remarquera que, dès que la réduite en y a lieu, ce qui peut arriver de trois manières différentes à cause qu'elle a trois racines, on peut donner à la proposée la forme
my — p\2
iz- I
comme on l'a fait au n° 27; par où l'on voit qu'elle n'est autre chose que le produit de ces deux-ci
mx I my — p \
mx ( my — p \
c'est-à-dire
my — p
my — p
de sorte que leur résolution donnera toujours les mêmes quatre racines de la proposée, quelle que soit la racine qu'on substituera à y.
Nommons maintenant a, b, c, d les quatre racines de la proposée; et il faudra que deux de ces racines soient renfermées dans l'une des deux équations précédentes, et que les deux autres le soient dans l'autre; de sorte qu'on aura, par la nature des équations,
, m . my — p
a 4- b — z, ab = y-i —>
2 J iz
c -+ a = \- z, cd=y ■ — >
d'où l'on tire
c -i- d — a — b ab -t- cd z= , r— ■
Cette valeur de y nous fait voir d'abord pourquoi la réduite en y est du troisième degré. En effet il est visible que la quantité y doit avoir autant de valeurs différentes qu'on en pourra former par toutes les permutations
possibles des racines a, b, c, d dans l'expression ; on ne peut
avoir de cette manière que les trois quantités suivantes
ab -f- cd ac -+- bd ad -+- cb
de sorte que l'équation dont y sera la racine, devra donner chacune de ces trois quantités et, par conséquent, devra être du troisième degré.
30. On peut donc déduire de cette remarque une manière directe de parvenir à la réduite du quatrième degré, et par son moyen à la résolution générale de ce degré. Car, puisque la combinaison ab-\- cd des quatre racines a, b, c, d est telle qu'elle n'admet que trois variations, savoir
ab ■+- cd, ac -+- bd, ad -+- cb, il s'ensuit d'abord que si l'on fait
ab -+- cd = u, on aura une équation en u du troisième degré, dont les racines seront
ab -f- cd, ac -+- bd, ad ■+- bc, qui sera par conséquent de cette forme
où l'on aura, par la nature des équations, A = ab -+- cd -+- ac -t- bd -+- ad -+- cb,
B = (ab -f- cd) (ac-h bd) -h (ab ■+■ cd)(ad -t- cb) -+- (ac -+- bd) (ad -h cb), C = (ab -f- cd) (ac + bd)(ad+ cb),
c'est-à-dire
A = ab + ac -+- ad -+■ bc -t- bd -+- cd,
B = a2 (bc-\-bd -hcd) + b"- (ac+ad-v-cd ) -I- c'(ab-had -hbd) -h d2(ab-hac-i-bc),
C = abcd (a' -+■ b2+ c2+ d2) -t- a2b2c2 + a2b2d2 + a2c2d2 -+- b2c2d2.
Or il est facile de voir que ces valeurs de A, B, C doivent être données par les coefficients m, n, p, q de la proposée, et cela sans aucune extraction de racines, puisqu'elles demeurent les mêmes, quelque permutation qu'on fasse entre les racines a, b, c, d de cette équation; d'où il suit que chacune d'elles ne peut avoir qu'une seule et même valeur. En effet, ayant
— m — a-{-b-\-c-hd,
n = ab -+- ac -+- ad -+- bc ■+- bd -t- cd,
— p = abc -+- abd -+- aed ■+■ bed, q = abcd,
on aura d'abord
ensuite, pour trouver B, on observera que
a(bc -+- bd -h cd) = — p — bed, et de même
b (ac 4- ad -+• cd) = — p — aed,
et ainsi des autres, de sorte qu'on aura
B = (a — 6 -+- c.-f- d),{ — p) — ^abcd,
c'est-à-dire
B = mp — 4 1 •
Enfin, pour avoir C, on remarquera que
a2 + b' -+- c1 ■+- d2 =: m- — in;
en sorte que la partie abcd\a- -H b2 -\-c2 -+- d-) deviendra (m- — ■in)q; et, pour avoir l'autre partie, on fera le carré dep et l'on en déduira
a2b2 c2 -t- a2 b2 d2 -t- a2c2d2+ b2c2d2 = p2— iabcd{ab -t- ac -+- bc + ad -+- bd -h cd)
= p2 — inq, de sorte que l'on aura
Moyennant quoi notre réduite sera
m3 — nu2 -h {mp — 4</) w — {m2 — 4") q — p2 = o, qui est la même que celle en y du n° 27, en supposant m = iy.
31 . Voyons maintenant comment, en connaissant une des valeurs de u, on pourra trouver les quatre racines a, b, c, d. Puisque
u = ab -+- cd et abcd = q,
il est clair que les deux quantités ab et cd seront les racines de cette équation du second degré
t'1 — ut -h q = o,
de sorte qu'en nommant t' et t" ces deux racines on connaîtra les deux produits
ab = t' et cd= t"; de plus on a
— p = ab{c-+- d) -t- cd(a-\- b) = t'(c + d) -t- t"(a+ b),
et comme
a-hb-hc-f-d = — m,
, p — mt' , p — mt"
H- I) = !-—, jt- i C -h d= t—r, — :
donc, puisque
ab= t' et cd = t", il est clair que a et b seront les racines de cette équation du second degré p — mt'
et que c et d seront celles de l'équation p — mt"
On voit par là qu'il suffit de connaître une des racines de la réduite en u pour avoir les quatre racines a, b, c, d de la proposée, et que chacune des racines de cette réduite donnera toujours les mêmes quatre racines a, b, c, d; car si, au lieu de prendre u = ab-hcd, on eût pris u = ac+ bd ou u = ad-\-bc, il n'y eût eu d'autre changement dans nos formules sinon que b eût été changé en c ou en d, et vice versa.
32. On pourrait résoudre encore l'équation du quatrième degré d'une manière plus simple à l'aide de la réduite dont la racine serait (29)
z = ou bien s = c + a— a — b,
en faisant, pour plus de simplicité, s= 22. Pour savoir d'abord de quel degré et de quelle forme doit être cette équation, il n'y a qu'à faire dans la quantité c -+- d — a — b toutes les permutations possibles entre les lettres a, b, c, d, et il en résultera les six suivantes
qui seront donc les racines de la réduite en s, de sorte que cette réduite sera nécessairement du sixième degré; mais, comme les six quantités précédentes sont deux à deux égales et de signes contraires, il s'ensuit que la réduite ne pourra contenir que des puissances paires de l'inconnue s, en sorte qu'elle sera résoluble à la manière des équations du troisième degré.
Donc, si l'on fait s2 = t, on aura une réduite en t du troisième degré et dont les trois racines seront
(a + b — c — d)2, {a-hc — b — dy, {a -\-d — b — c)2.
Ainsi l'on pourra trouver cette équation en cherchant la valeur de ses coefficients, comme nous l'avons fait plus haut à l'égard de la réduite en u (30); mais, sans entreprendre un nouveau calcul pour cet objet, il suffira de remarquer que le carré de a -+- b — c — d est
a2 ■+- b'1 -+- c- -+- d2 -+- lab -t- icd — lac — 2 ad — 26c — ibd;
donc, puisque
c'est-à-dire
ab -f- ac ■+- ad H- bc -+- bd -+- cd = m, a2 H- 62 -f- c2 h- d2 = m2 — 2 n ;
t = m2 — 4re ■+- 4 (a^ + cc0>
t = m2 — 4w-f~4M; de sorte que, pour avoir la réduite cherchée en t, il n'y aura qu'à substituer, dans celle en u du n° 30, {^m'^^n à la place de u; et l'on aura celle-ci
t3—(3m2—8n)t2-h(3ml—i6m'n-hi6n:'-hi6mp — 6/iq)t— [m3— ^mn-hSp)2=o.
Maintenant, si l'on suppose que t', t" et t"' soient les trois racines de cette équation, on aura (hypothèse)
[a -+- b — c — rf)2 = t' , (a -h c — b — d)2 = t", (a -+- d — b — c)2 = f"; d'où, en tirant la racine carrée, on aura
a-h b — c — d= Jt', a + c — b — d= \Jt" , a + d—b — c = \Jt'";
combinant ces trois équations avec l'équation
on en tirera les valeurs de chacune des quatre racines a, b, c, d; on aura donc
— m -+- Jt' -+- Jt" -t- Jt1"
, — m -+- Jt' — Jt" — y/f"
— m — Jt' + y7*" — y/*'"
m — \jt' — \jt" -+- yV'
De cette manière on aura donc les quatre racines de la proposée, sans être obligé de résoudre aucune autre équation que la réduite en t. Mais il se présente ici une difficulté, c'est que, comme chaque radical y/F, \jt", \Jt'" peut être pris également en plus et en moins, les expressions précédentes renfermeront encore ces quatre quantités-ci
fr
si**
•-sir
Jl'
JF
fî
' ->r\ft"'
df'
qui ne sont pas les valeurs des racines a, b, c, d, mais celles de leurs compléments à la somme
Pour résoudre cette difficulté, je remarque qu'il n'est pas nécessaire de savoir précisément quel signe on doit donner à la valeur de chacun des radicaux dont il s'agit, mais qu'il suffit de savoir si ces valeurs doivent être prises, l'une positive et les deux autres positives ou négatives, ou bien l'une négative et les deux autres positives ou négatives; car il est facile de voir que les expressions des racines a, b, c, d, trouvées ci-dessus, donneront toujours les mêmes quatre racines en changeant à la fois les signes de deux quelconques des radicaux \Jl', \jt", \Jt"' , et conservant celui du troisième. De sorte que tout se réduit à connaître le signe que doit avoir le produit des trois valeurs de sjt', \jt", \jt'". Or, par l'équation en t, on aura
t't"t'"= ( m3 — 4 mn + 8p y,
d'où l'on tire
m? — ^mn 4- 8p = \jt' \Jt" \Jt'" (*).
Donc, si l'on dénote par 6' , ô", 0"' les valeurs des radicaux sfp , \jt", \Jt"' prises positivement, en sorte que l'on ait
sl7=±Q', v/F = ± 6", sjr = ± 6'",
il faudra, lorsque m3 — l\mn -+- 8p est une quantité positive, prendre, ou
sjT—& et s[F — ±Q", s/r = ±6"\ ou
s/F =6" et sjT=±B', s/F' = ±6"', ou
s/F' = 6'" et \jT =±6', s/F = ±6",
les signes ambigus devant être les mêmes pour les quantités 6", 0'", ou 9', ô'", ou 6', 0", et l'on aura dans ce cas pour les quatre racines de la proposée les valeurs suivantes
( * ) Cette formule a été obtenue en extrayant la racine carrée des deux membres de la précédente, et celle-ci indique seulement que le produit des radicaux \Jt', \/t", \Jt'" est égal à ± {m3 — i,mn -+- 8/j). Lagrange remplace le signe ambigu ± par +, mais c'est le signe — qu'il fallait prendre; en effet, les radicaux \ft\ \J~t'\ ^représentent les valeurs des quantités
a 4- b — c — d , a 4- c — b — d , a 4- d — b — c , qui ont pour produit la fonction symétrique
(«4- b -hc-h d)3 — 4(a + 6 + f -\-d)[ab 4- ac -\- ad + bc + bd + cd) 4- 8 [abc + abd 4- acd 4- bcd), dont la valeur est — m3 4- 4 mn — 9p. On a donc
\/t' \lt" \ff' = — m3 4- 4 '«« — 8/>, quels que soient les coefficients m, n, p, réels ou imaginaires. Cette relalion détermine complètement dans tous les cas l'un des radicaux \/t', \ft" ', \/t'" quand les valeurs des deux autres ont été fixées. {Note de l'Éditeur. )
Au contraire, si m3 — ^mn-h 8p est une quantité négative, il faudra alors prendre, ou
\JT = — 0' et. y/T" = ± 6", y/r = ± 0'", ou
\JJ" = — 0" et >JT = ± 0' , sjT" = ± 0'",
ou
\ft"' = — 0'" et y/F = ± 0', y/F = ± 9";
ce qui donnera, pour les quatre racines cherchées, ces valeurs
-m+8' + fi"- 9'"
33. La méthode de Ferrari, que nous venons d'examiner, nous a conduits à décomposer l'équation du quatrième degré
xf -f- mx3 ■+- nx- -+- px -4- q = o
en ces deux-ci du second degré (29)
my — p
de la résolution desquelles on peut tirer les quatre racines de la proposée, comme on l'a vu plus haut; on pourrait aussi ohtenir cette décomposition d'une manière plus simple et plus directe, en supposant d'abord que l'équation proposée soit le produit de deux équations du second degré telles que
x1 -hfx-hg=o, x--+- hx -+- k = o,
et déterminant ensuite les coefficients/, g, h, k par la comparaison des termes homologues; c'est ce qu'a fait Descartes, et ce qui a donné naissance à la méthode des indéterminées dont il est regardé comme l'auteur. Multipliant donc les deux équations précédentes l'une par l'autre, on aura celle-ci
x* -+- (/-t- h) x3 ■+- (fli -4- g -h k) x2 + (fk -+- gh) x -\- gk = o,
laquelle étant comparée terme à terme avec la proposée
x' -+- mx3 -+- nx- -+- px + g = o
donnera les quatre équations
/ -+- h = m, fli -h g -h k = ii, fk -I- gh — p, gk = q ,
lesquelles serviront à déterminer les quatre inconnues/, g, h, k.
34. Supposons d'abord, avec Descartes, que le second terme de la proposée soit évanoui, c'est-à-dire que l'on ait m — o; on aura donc/+A = o et par conséquent h = — / de sorte que dans ce cas la proposée ne pourra venir que de la multiplication de deux équations telles que
x2 '-\-fx -l- g = o, x2 — fx H- k = o,
et l'on aura alors pour la détermination des trois coefficients/, g, k les équations
g + h -f'=n, (k-g)f=p, gk = q;
les deux premières donnent
l£zï, t.'^Lt
et, ces valeurs étant substituées dans la dernière, on aura
ou bien, en multipliant par/2 et ordonnant les termes par rapport à/,
équation du sixième degré, mais qui est résoluble à la manière de celles du troisième, à cause qu'elle ne renferme que des puissances paires de l'inconnue.
Telle est la méthode de Descartes pour les équations du quatrième degré. Il est vrai que cet Auteur suppose d'abord que les équations composantes soient représentées par
X7 ■+■ fX -f- * 1 S-p = O, X* — JX + •■!■ 1 h -Sr = O,
ainsi qu'il résulte de la substitution des valeurs de g et de k trouvées cidessus; mais il est naturel de croire qu'il n'a trouvé ces formules que par une analyse semblable à celle que nous venons de donner, comme on peut le voir dans le Commentaire de Schooten et dans la Lettre de Hudde sur la réduction des équations.
35. Il est visible que la Solution précédente revient au même que celle des nos 26 et suivants, et que les inconnues /et s expriment la même quantité dans les deux Solutions lorsque m = o. Ainsi les principales remarques qu'on a faites sur la Solution de Ferrari pourront s'appliquer aussi à celle de Descartes, sans qu'il soit nécessaire d'entrer là-dessus dans un nouveau détail; mais il est bon, de plus, d'examiner en particulier le principe de cette dernière Solution et de chercher à priori les conséquences qui peuvent en résulter.
Ce principe consiste, comme nous venons de le voir, à supposer que l'équation proposée soit divisible par une équation du second degré telle que
x2 + fx -h g= O,
c'est-à-dire qu'elle ait deux racines communes avec cette dernière. Ainsi l'on pourra trouver les conditions nécessaires pour cela par la méthode du n° 12. En effet, en divisant le quinôme
par le trinôme
x'+fx-hg,
on trouvera le quotient
x*+{-m—f)x-t-n — g — f(m—f), et le reste
de sorte que, pour que la division puisse se faire exactement, il faudra
que le reste soit nul indépendamment de x, ce qui donnera ces deux
équations
au moyen desquelles on pourra déterminer / et g. La première de ces équations donnera d'abord
m-2f et, cette valeur étant substituée clans la seconde, on aura
a — (n — mf+ P) *- *■ ^ ^—,-h i£- / J-pr — J—L = 0,
ou bien
( /•"— mf2-h nf- p) '< — (f3 - mf-h nf— p)(p- mf-h n) (a/— m) + q (if- mf = o,
qui, étant ordonnée par rapport à/, sera en changeant les signes
/s — 3/n/s +(3m1+2ft)/<-m(m! + ((n)/î+ (i m- n + mp -+- ri' — ^q)/''
— m ( mp -r- n2 — 4 Ç ) f + mw/? — m2 <? — p2 = °>
la même que celle qu'on tirerait des quatre équations de condition du n° 33.
Cette équation est, comme on voit, du sixième degré, ayant tous ses termes; mais en faisant m = o tous les termes qui renferment des puissances impaires de l'inconnue s'évanouissent, de sorte que l'équation devient résoluble à la manière de celles du troisième degré; c'est le cas
que nous avons déjà considéré dans le n° 34. Mais il n'est pas même nécessaire de supposer 7n = o pour anéantir tous les termes où l'inconnue se trouve élevée à des puissances impaires; il suffit pour cela de faire disparaître le second terme en supposant, suivant la méthode connue,
et l'on verra que tous les autres termes s'évanouiront en même temps, de sorte qu'on aura une équation en / qui ne renfermera que des puissances de P, laquelle sera
3m! \ „ /3m( „ , \ , /m3 nui — 2/i r -h I — ~ m-n ■+- mp + re2 — 4<7 ' — [~ô — H
équation qui est la même que la réduite en 2 du n° 32, en y faisant t = [\l2, de sorte que, comme on a supposé dans le même numéro t = s2 et j=2s,
on aura 1 = z; d'où l'on voit que la quantité /=/ dans les formules
précédentes sera la même que la quantité z des nos 27 et suivants, et cela sans supposer /n= o, ce qui sert à montrer d'autant mieux la liaison des solutions que nous venons d'examiner.
36. Voyons maintenant la raison pourquoi la méthode de Descartes conduit à une réduite du sixième degré telle que, en y faisant évanouir le second terme, tous ceux qui renferment des puissances impaires de l'inconnue s'évanouissent aussi, comme nous venons de le trouver; pour cela on considérera que, puisque l'équation du second degré x2 -hfx -f- g = o doit être un diviseur exact de la proposée dont les racines sont a, b, c, cl, il faut nécessairement que la même équation renferme deux quelconques de ces quatre racines. Ainsi l'on aura
g= ab,
-f—a-hc,
g—ac,
g=ad,
ou
—f—b + ç, g=bc,
ou
-f=b-\-d, g=bd,
ou enfin
— f=c-hd, g=cd;
d'où l'on voit que l'équation en y doit être du sixième degré aussi bien que l'équation en g, c'est-à-dire du degré dont l'exposant sera égal au nombre des combinaisons de quatre choses prises deux à deux, nombre
qu'on sait être — = 6. On pourrait donc par ce moyen trouver directement tant l'équation en/que celle en g en cherchant la valeur de chacun de leurs coefficients, comme nous l'avons déjà pratiqué dans plusieurs occasions. Pour cela on représenterait d'abord l'équation en / par la forme générale
/* + a/' + B/« + C/» -+- D/> + E/+ F = o, et comme les racines de cette équation doivent être
on aurait
A=za-Jhb + a-hc + a-^d-t'b + c-hb-i-d+c + d
= 3 ; a- -4- b- ■+- c7 -t- d') -+-8(ab -+- ac -+- ad + bc -+- 6c? -+- cd), = 3 (m2 — in) +8a = 3m!+2n,
et ainsi de suite.
Maintenant, si l'on voulait faire évanouir le second terme de cette
équation en/, il faudrait, suivant la règle connue, augmenter toutes les racines de jr, c'est-à-dire mettre, à la place de/, /— g-> ce qui donnerait une transformée en / où
puisque
A=3(a+è+c-f- d), de sorte que les racines de cette transformée seraient
c'est-à-dire
où l'on voit que chaque racine a sa compagne négative; en sorte que, si l'on en prend les carrés et qu'on regarde l- comme l'inconnue, elle ne pourra avoir que trois valeurs différentes, savoir !-t- b — c -
d'où il s'ensuit que l'équation en /, étant ordonnée paTr rapport à /2, montera au troisième degré, c'est-à-dire qu'elle sera du sixième, ayant toutes les puissances de l'inconnue paires, comme nous l'avons trouvé plus haut par une autre voie : c'est à cette circonstance heureuse qu'on doit la résolution des équations du quatrième degré. On voit aussi par là la raison pourquoi, dans le numéro précédent, l'équation en / est la même que celle en z, car il est clair (32) que les valeurs de z sont les mêmes que celles que nous venons de trouver pour /.
