On peut encore remarquer que, puisque l'on a
— m = a + b + c -+- cl,
et que les valeurs de /sont
on aura les mêmes valeurs pour la quantité m —f; d'où il s'ensuit que l'équation en / doit être telle, qu'elle demeure la même en y substituant m — / à la place de /; donc, si l'on fait y = — h /, ce qui donne
m—f= /, il faudra que la transformée en / soit telle, qu'elle demeure la même en y changeant / en — /; par conséquent elle ne devra renfermer que des puissances paires de /.
Or, si l'on substitue cette valeur de /dans l'expression de g du n° 35, on a
l- ml ^n — m- ^nm — m1 — Sp ê = 7 + TH 8 ^67 '
et les deux facteurs
x*+fx-hg=o, x1-h{m—f)x-hn — g—f{m—f) = a, dans lesquels a été décomposée l'équation
x4 H- mx3 -+- nxr + px -+- q = o,
deviendront
m ,\ I2 ml An — m- A nm — m3 — Sp
7» ,\ l2 ml in — m2 inm — m3 — 8w ï-l)*+l-T+ 8— "- «67 " = 0'
équations qui sont les mêmes que celles du n° 29 en faisant l = z et en substituant dans ces dernières à la place de y sa valeur en z, laquelle
est (28)
Les méthodes que nous venons d'analyser renferment, si je ne me trompe, toutes les méthodes connues pour la résolution des équations du quatrième degré; il en faut seulement excepter celles deMM.Tschirnaus, Euler et Bezout, lesquelles méritent un examen particulier; c'est l'objet qu'il nous reste à remplir dans cette Section.
38. Et d'abord il est clair que pour pouvoir résoudre l'équation du quatrième degré, suivant la méthode de M. Tschirnaus, il n'est pas nécessaire de faire disparaître tous les termes intermédiaires, comme dans celles du troisième, mais qu'il suffit d'y faire disparaître le second et le quatrième terme où l'inconnue se trouve élevée à des puissances impaires; car alors on aura une équation résoluble à la manière de celles du second degré. Pour cela on prendra donc, comme on a fait pour le troisième degré (10j, l'équation subsidiaire
x2 = bx -1- a -+- y,
qui contient deux indéterminées a et b\ et éliminant par son moyen l'inconnue x de l'équation proposée
xi -+■ mx3 -+- nx2 H- px -+- q = o,
on aura (14) une transformée en y du quatrième degré, dans laquelle le coefficient de y3 sera une fonction de a et b de la première dimension, celui de y2 une fonction de a et b de la seconde dimension, celui dej
une fonction de a et b de la troisième dimension, etc. De sorte que, pour faire disparaître à la fois le second et le quatrième terme, il faudra déterminer les quantités a et b en sorte qu'elles satisfassent à deux équations, l'une du premier degré et l'autre du troisième, ce qui donnera une réduite en a ou en b du troisième degré; d'où l'on peut conclure que la méthode de M. Tschirnaus doit aussi réussir pour le quatrième degré : c'est ce qu'on va voir maintenant par le calcul.
39. Comme nous avons jusqu'ici fait usage des lettres a, b, c, cl pour représenter les quatre racines de l'équation proposée, pour éviter toute confusion nous prendrons d'autres lettres pour les coefficients de l'équation subsidiaire, et nous représenterons cette équation ainsi
x"- -+-fx + g ■+- y — o.
Or, puisqu'il faut, par la nature de la méthode dont il s'agit (11), que cette équation ait une racine commune avec la proposée, il n'y aura qu'à faire en sorte qu'elles aient un diviseur commun où x se trouve à la première dimension. On divisera donc d'abord le quinôme
xi -t- mx3 -+- nx* + px -+- q
par le trinôme
x'-hfx-hg-hf,
et faisant pour un moment g+y = g', on trouvera, comme ci-dessus (35j, le reste
[p - g' (m - 2/) - nf+ mf* — p] x + q — g'{n— mf+f* h- g'\
lequel, ne contenant que la première dimension de x, devra par conséquent être le diviseur commun des deux polynômes; ainsi il faudra que ce. reste divise exactement le diviseur précédent x2 -h fx -h g' , c'est-àdire que la valeur de x tirée de l'équation
[p - g' ( m - if) - nf-h mp -/3] x ■+■ q — g'{n - mf-hf- ) + g" = o
satisfasse aussi à l'équation
x1 -hfx + g' = o.
On aura donc
g g-g'(w-m/+/') + g" f3 - ™/2 + nf—p + (m—2f) g'
et substituant cette valeur dans ar +,/àj -+- g-' = o, on aura
[q-g'(n-mf+p) + g'*Y
+ f[q - g"'!» - ™/+/2) + g'2] [f3- mp+ nf- p + (m- if) g']
où il ne s'agira plus que de remettre g + y à la place de g' et de développer les termes en les ordonnant par rapport à y. Soient, pour abréger,
F = f3—mf2-hnf—p,
G = f2 — mf -+- n, H = if — m,
et l'équation précédente deviendra
(q - G g1 + g'2f +/(î - ' Gff' + g'2) (F - Hf ' ) + g' (F - Hg-' )» = o,
laquelle étant d'abord ordonnée par rapport à g' devient
£'«-(aG+/H-H')g"+(& + aî+/F.|-/GH-aFH)£"
- (agG H-/gH +/FG - P)g-' + g' + g/F = o,
et en remettant les valeurs de F, G, H,
g1'4 — {mf-it- in — m2) g'3 -+- [nf2 — (mn — 3p)f-\- n2 — imp -+- iq] g'2
- [pf3— (mp — /iq)f2+(np- 3 mq) f — p' -:- 2 nq] g'
+.q(ft~mp + nf2 — pf+q) = o.
Faisons maintenant
A = mf -h 211 — m2,
B = nf2 — (mn — 3p) f -h n2 — imp ■+- iq,
C =Pf3~ (mp — 4?)/2+ (np-3mq)f — p--i-inq,
D = Q (f ~ 'nf3 + np - pf+ q),
pour avoir l'équation
fir'«-Ag'» + B$"-Cg' + B = o>
et remettant maintenant g-\-y à la place de g', on aura, après avoir ordonné les termes par rapport à y, cette transformée
r + (4g- A)r +. (6g' - 3gA + B),r
+ (4g3-3Ag'H-2Bg-C).r + g<-Ag3+Bg*-Cg + D = o,
dans laquelle on est maître de faire évanouir deux termes à volonté en déterminant convenablement les quantités /et g.
Faisons donc évanouir, comme nous nous le sommes proposé, le second et le quatrième terme; on aura pour cet effet les équations
4g3 — 3Ag2 + aBg— C = o,
dont la première donne
ce qui étant substitué dans la seconde, on aura, en ôtant les fractions,
A3-4AB-hSC=o,
équation qui, en remettant pour A, B, C leurs valeurs en/, montera au troisième degré, et deviendra, après avoir ordonné les termes,
[ni3— 4»!» -+- 8p)f3 — (3 m4 — i4'M2/n- 8n2 -+- imp — 2>iq)f- -+- [m5- i6»z3ra -Y- lorri'p -+- i6m(n2 — iq) — i6np]f
— m* -+- ôm'n — 8m3np — 8m- (n? — q ) -+- 8mn2p — 8p- = o.
Ayant donc déterminé/ par cette équation, l'équation en y deviendra, à
cause de g = -r ■>
t ■ /3A° n\ , 3A4 A=B AC
ou bien, en mettant à la place de C sa valeur — jp
