III

laquelle est, comme on voit, résoluble à la manière de celles du second degré. Ainsi l'on connaîtra / et y; après quoi on aura sur-le-champ

p - mp -+- re/— p + (m — a/) ^ j + j j

et les quatre valeurs de y tirées de l'équation précédente donneront toujours les quatre mêmes racines de la proposée, quelle que soit la racine/ qu'on emploie; ce qu'on pourrait démontrer, s'il en était besoin, d'une manière analogue à celle du n° 28.

40. Si l'on voulait savoir à priori pourquoi la réduite en/ que nous venons de trouver ci-dessus est nécessairement du troisième degré, il faudrait chercher quelle fonction des racines a, b, c, d doit être la valeur de/ Pour cela on reprendra l'équation subsidiaire

x> +fx -h g + f = o,

et l'on y substituera successivement a, b, c, d & la place de x, et à la place de j les quatre racines de l'équation en y ci-dessus; mais il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de ces dernières racines, il suffit de considérer que, comme l'équation ne contient aucune puissance impaire de y, ses racines doivent être deux à deux égales et de signes contraires; en sorte qu'on pourra les représenter par y', —y', y"- —y"- Faisant donc ces substitutions dans l'équation œ2-\-/x ■+- g + y = o, on aura

ces quatre-ci

a*-hfa + g + x' = °>

b>+fb + g-x' = °>

c'+fc -hg-i-r"—o,

d>-hfd+ g-r"=o;

d'où, chassant d'abord y' et y", on tire

DES EQUATIONS. 283

et chassant ensuite g, on aura

Or, pour avoir toutes les valeurs de/, il n'y aura qu'à faire entre les quatre racines a, b, c, d toutes les permutations possibles, et l'on n'obtiendra que ces trois valeurs différentes

a2-hb2

a2-hc2

qui seront les racines de la réduite en y, laquelle ne pourra être par conséquent que du troisième degré. On pourrait même remonter de là à l'équation en y, comme nous l'avons déjà pratiqué plusieurs fois; et l'on trouverait la même équation qu'on a vue ci-dessus.

Au reste, pour pouvoir mieux comparer la réduite en/dont nous parlons, avec celles que nous avons trouvées plus haut d'après les solutions de Ferrari et de Descartes, on remarquera que

, , ,. , ,. {a-hb)2— (c + d)2-h(a — b)2— \c — d)2

mais on trouve par le calcul

(a -+ 6 — c — d) (a -4- c — b — d) (a -h d — b — c) = — m3 -t- £mn — 8p,

donc on aura

, i, , j, r T i , a i\ m3 — 4mn-h8p'\

2 [ a-+-o — c — rfj

par conséquent

\2 — c- — d- m m3 — /imn-h8p

Or nous avons trouvé (32) que la réduite en t a pour racines les différentes valeurs de [a + b — c — d)2; donc on aura, en général,

„ m m3 — ^.mii-h8p

■' 2 it

d'où l'on voit que la réduite en /n'est autre chose qu'une transformation de la réduite en t du numéro cité.

41. Après avoir vu comment la méthode de Tsehirnaus peut s'appliquer aux équations du quatrième degré en faisant évanouir deux termes de la proposée, il ne sera pas inutile de voir encore ce qui en résulterait si l'on voulait faire évanouir à la fois tous les termes intermédiaires, comme on a fait pour le troisième degré.

On aurait donc trois termes à faire disparaître, savoir le second, le troisième et le quatrième, ce qui exigerait une équation subsidiaire qui contint trois indéterminées, et qui fût de cette forme

x% -+- fx2 -+- gx -f- /; -+- y — o.

On éliminerait donc x par le moyen de cette équation et de la proposée

xk -\- mx* -+- nx2 -+■ px -+- q = o,

et l'on aurait une transformée en y du quatrième degré, telle que

yi 4- A j3 + R j2 + Cy -+- D = o,

dans laquelle il faudrait supposer A = o, B = o, C = o, pour avoir l'équation à deux termes

Or, de ce que nous avons démontré, en général, dans le n°14, il s'ensuit que A sera une fonction d'une dimension des trois indéterminées/, g, h, que B sera une fonction de deux dimensions, et C une fonction de

trois dimensions des mêmes quantités; de sorte que l'on aura, pour la détermination des inconnues y, g, h, ces trois équations

dont la première sera du premier degré, la seconde du second, et la troisième du troisième degré; d'où il est facile de voir qu'on aura par l'élimination une équation finale en/, ou g, ou h, qui sera du degré 1.2.3, c'est-à-dire du sixième. 11 paraît donc par là que la méthode dont il s'agit ne saurait réussir, puisqu'elle conduit à une réduite d'un degré supérieur à la proposée; mais il pourrait se faire que cette réduite du sixième degré put s'abaisser à un degré inférieur; c'est ce qu'il est bon d'examiner à priori avant d'entreprendre le calcul que nous venons d'indiquer.

42. Pour cet effet il faut chercher quelle fonction des racines a, b, c,

d devra être l'indéterminée/, par exemple, pour que la transformée en y

se réduise à la forme

Or cette équation en y donne ces quatre racines (25)

ainsi, en faisant pour plus de simplicité y — D = k, il n'y aura qu'à mettre successivement dans l'équation subsidiaire

x3 -i-fx2 -+- gx -4- h -+- y = o,

a, b, c, d à la place de x, et k, —k, k\J—i, — k\J — 1 à la place de y, et l'on aura ces quatre-ci

a3 + a2f-h ag ■+■ h -j- k = o, b3 + b2f-\- bg H- h — k = o, c3 -+- c2f -+■ cg + h -+- k \] — i = o, d3 -h d2f+ dg H- h — k <J— 1 = o,

d'où l'on pourra tirer les valeurs de/, g, h et k.

Si l'on ajoute ensemble les deux premières et les deux dernières, on aura ces deux-ci

a3+i3 + (a! + i!)/+(a+6!g'+ ih = o, c3 -f-d3H- [c2 + d2) f -^ (c -h d) g -h 2/1 — o,

qui, étant retranchées l'une de l'autre, donnent

où il n'y a plus que deux inconnues /et g\

Qu'on retranche maintenant les deux premières l'une de l'autre, comme aussi les deux dernières, on aura ces deux-ci

a3— b3 -h (a2 — b2)f-±- (a — b)g+ik = o,

c3 — d3 -+- (e2 — d2) f -+- (c — d) g -h 2/rv/lrT=o,

dont la seconde étant multipliée par \l — 1, et ensuite ajoutée à la première, on aura

équation qui, étant combinée avec celle qu'on a trouvée ci-dessus, servira à déterminer /et g.

Chassant g, on aura une équation en /qui donnera

, (a3-f-63— f3— d3)[a — b + {c — <Qy/^T]- [«3- b3 -h(c3— rf3) y/~] (ft + 6 - c — d) (a2+b2—c2— d2)[a-b + (c — d)i/=i]-[a2-b2+(c2-d2)\/^i](a+b — c— d)'

d'où l'on pourra déduire facilement toutes les différentes valeurs dont la quanti té/est susceptible, en faisant toutes les permutations possibles entre les quatre racines a, b, c, d. De cette manière, si l'on fait, pour abréger,

P = (a24-é2 — c2 — f/2)(a— 6) — (a2— 62) (a -f-6 — c — rf),

Q — (a2+è2 c2 — rf2) (c — d) — (c2 - d2) (a -h b — c — d),

DES EQUATIONS.

N' = (a3-hc3

Q' = (a'-hc*

-fr

N"—{a3-hd3

Q"={a'-hd*

on trouvera les six valeurs suivantes

P -f-Q y/^' M' + NV17^

qui seront donc les racines de l'équation en/; d'où l'on voit que cette équation montera en effet au sixième degré, comme nous l'avons déjà conclu par une autre voie.

43. Il s'agit maintenant de voir si cette équation du sixième degré peut s'abaisser à un degré inférieur; or c'est ce qui doit avoir lieu en effet, comme je vais le prouver, d'après la forme que je viens de trouver pour les six racines de l'équation en question. Car supposons que les

deux racines

M+Ny/=T M — Ny^T

p -t- Q v1-! et ? - Q s/-7

soient représentées par l'équation du second degré

on aura donc-par la nature des équations

M + Ni/^T M — NiPT Mh-N,/— 7 M-NiA^T

t= " 1 — " — et u= v X - '

P+Qy/-! P-QV-i

c'est-à-dire

2(MP + NQ) M2-i-N2

Or je dis que les quantités t et j< ne peuvent dépendre que d'équations du troisième degré telles que

(]-Er + F/ — G = o, u? — H m2 -h- K w — L = o,

les coefficients E, F, G, H, K, L étant des fonctions rationnelles des coefficients m, n, p, q de la proposée. De sorte que, nommant t', 't", t"' • les trois racines de la première équation, et u' , u", u" les racines correspondantes de la seconde, on aura ces trois équations en/

dans lesquelles pourra se décomposer l'équation du sixième degré en f dont nous venons de parler.

Pour démontrer cette proposition , il n'y a qu'à chercher de combien de valeurs différentes sont susceptibles les quantités t et u, c'est-à-dire

les fonctions

MP -4- NQ M2 + N2

P2 -+- Q2 et P2 + Q2

des racines a, b, c, d de la proposée, en supposant que l'on fasse entre ces racines toutes les permutations possibles; car il est clair que les valeurs qui en résulteront seront les racines des équations en t et en u. Pour cela je remarque d'abord que le nombre total des permutations des quatre quantités a, b, c, d, doit être, suivant les règles connues. 4 . 3 . 2 . x = 24; de sorte que, généralement parlant, les équations en t et en u devraient monter au vingt-quatrième degré. Mais il arrive ici que parmi les permutations dont il s'agit il y en a plusieurs'qui redonnent les mêmes valeurs de t et u, et qui, par conséquent, doivent être rejetées. En effet :

i° Lorsqu'on échange a en b, il est visible que les quantités N et Q demeurent les mêmes, et que les quantités M et P changent simplement de signes, de sorte que les quantités t et u doivent demeurer les mêmes; d'où il est facile de conclure que parmi les vingt-quatre valeurs de t et de u répondant aux vingt-quatre permutations des lettres «, b, c, cl, il doit y en avoir douze égales à douze autres, ce qui réduit déjà le nombre des valeurs utiles de t et u à la moitié.

20 Lorsqu'on échange c en cl, les quantités M et P demeurent les mêmes, et les quantités N et Q changent simplement de signe, ce qui ne produit aucun changement dans les valeurs de t et u; donc, comme ces permutations sont indépendantes des précédentes, il s'ensuit, par une raison semblable, que les douze valeurs de t et u se réduiront à six.

3° Enfin, si l'on échange a en c et b en cl à la fois, on verra aisément que les quantités M et N se changeront l'une dans l'autre en changeant de signe, et qu'il en sera de même des quantités P et Q; mais il est clair que ces changements ne feront point varier les quantités t et u. Ainsi, comme ces nouvelles permutations sont aussi indépendantes des précédentes, on en conclura que les six valeurs de t et u se réduiront à trois, en sorte que, parmi les vingt-quatre valeurs de t et a, il ne s'en trouvera effectivement que trois différentes entre elles, dont chacune sera répétée huit fois.

Il y a encore, à la vérité, un échange qui ne produit aucune variation dans les quantités t et u : c'est celui de a en cl et b en c à la fois; mais il ne doit pas entrer en ligne de compte, parce qu'il est déjà renfermé dans les précédents.

De là on peut conclure que les équations en t et u du vingt-quatrième degré ne pourront renfermer que trois racines différentes, dont chacune en aura sept autres d'égales, de sorte que ces équations ne seront autre chose que des équations du troisième degré élevées à la huitième puissance.

44. Nous venons donc de voir à priori que les valeurs différentes de i ne peuvent être qu'au nombre de trois, ainsi que celles de u; or il est HI. 3*7

facile de trouver que ces valeurs seront, pour la quantité t,.

2(MPh-NQ) 2(M,P'+N'Q/) ■2(M,'P"4-N,,Q,,j P2+Q2 ' P'2+Q'2 "' P"2-|-Q"2

et pour la quantité u,

de sorte qu'on aura (43)

, a (MP + NQ) „ a{M'P'+N'-Q') 2(M"P"+N"Q")

Effectivement, si l'on met ces valeurs dans les coefficients E, F, . . . des équations en t et en u, lesquels doivent être, comme on sait, exprimés ainsi

H = m'h - u"-h u'", K = u'u"-\~ u'u'"+ u"u'", L = u'iï'u'",

on aura des fonctions de a, b, c, cl, qui demeureront les mêmes, quelque permutation qu'on fasse entre les quantités a, b, c, d, et qui pourront par conséquent s'exprimer par des fonctions rationnelles des coefficients m, n, p, q de la proposée dont les quantités a, b, c, d sont les racines. De sorte qu'on pourra par ce moyen trouver directement les valeurs des coefficients dont il s'agit, comme nous l'avons déjà pratiqué plusieurs fois dans le cours de ces recherches.

Au reste, dès qu'on connaîtra les trois racines t', t", t'" de l'équation en t, on pourra par leur moyen trouver les racines correspondantes u' , u", u" de l'équation en u, sans être obligé de résoudre aucune équation. Car si l'on prend ces trois expressions

t' u' -+- t,"u"-h t'"iï", tnu'~\~ t"2u"-h l'"2u'",

et qu'on y mette à la place de t', t", t'" et u', u", u" leurs valeurs ci-dessus en a, b, c, d, on verra aisément que les fonctions résultant de a, b, c, d seront telles, qu'elles ne changeront point de forme, quelque permutation qu'on y fasse entre les quantités a, b, c. d, de sorte qu'elles seront toujours exprimables par des fonctions rationnelles des coefficients m, n, p, q de l'équation proposée. Ainsi l'on pourra trouver les valeurs des expressions dont il s'agit, moyennant quoi on aura trois équations par lesquelles on déterminera aisément les trois inconnues u', u", u". (Voyez la Section quatrième.)

45. Nous étant donc assurés à priori que la réduite du sixième degré, à laquelle doit conduire la méthode en question, pourra toujours s'abaisser au troisième, voyons maintenant le procédé du calcul que cette méthode exige. On reprendra donc l'équation subsidiaire ( 40;

X3 -hfx2 ■+■ gX -t- h -+->':= O,

et l'on cherchera par la méthode ordinaire (11) les conditions nécessaires pour que cette équation ait une racine commune avec la proposée

x* -h mxi -\- nx2 -+- px -f- q = o.

On divisera donc d'abord le polynôme

■ x* -t- mx3 -t- nx2 + px ■+■ q par le polynôme

X1 -i-fx2 -f- gX -t- //' ,

en faisant pour plus de simplicité h' = h-\-y, et, abstraction faite du quotient, on aura ce reste

Mx2-hWx -+-P',

en supposant

On divisera maintenant le quatrinôme ce3 +-f.r2 +■ gx -f- h' par le trinôme

Ma;2 + N'a; 4- P', et l'on aura ce nouveau reste

qui, ne renfermant que la première puissance de x, devra par conséquent être le diviseur commun cherché. Faisant donc ce diviseur égal à zéro, on en tirera

M2/i'MP'/-i-N'P'-

valeur qui, étant substituée dans l'équation

donnera les conditions cherchées.

Faisons maintenant

et, à cause de h' = h -+-y, on aura

donc, substituant ces valeurs dans l'expression de a;, et supposant de plus