Q=M2A-MP/+NP

R = M2+(M/— N)/— P, S = M'g- - M ( P -+- N/) + N2, T = Mm-aN, on aura

x== Q + Rj+(m-/)j2 S -+- Ty -+- y2

et l'équation de condition sera

M[Q-HRj+(m-/)r2]2+(j-N)[Q + Rr+(m-/)j2](S + Tr+r2)

+ [ P - ( m -/) y ] (S + Ty+y) = °,

laquelle, étant développée et ordonnée par rapport aux puissances de y, se trouvera, après les réductions, de la forme

y* -+- A.y3 + Bj2-+- C y- -+- D = o,

comme nous l'avons déjà montré plus haut.

Dans cette équation en y les coefficients A, B, C, D seront des fonctions rationnelles et entières des trois indéterminées/, g, h, et les dimensions de ces indéterminées ne passeront pas le premier degré dans le coefficient A, le second deeré dans le coefficient B, et ainsi de suite, eonformément à ce qu'on a déjà prouvé à priori. Ainsi, pour réduire l'équation précédente à deux termes, on fera

équations d'où l'on tirera d'abord les valeurs de g et h en/, et ensuite une équation finale en/qui sera du sixième degré, mais qui sera réductible au troisième, comme on l'a démontré ci-dessus; car, en divisant cette équation par une équation du second degré telle que

f2 + tf+ » = o,

on trouvera, pour que la division puisse se faire exactement, deux équations de condition entre t et u, à l'aide desquelles on pourra d'abord déterminer u en t, et ensuite on aura une équation finale en t qui ne sera que du troisième degré. Résolvant donc cette équation du troisième degré, on connaîtra t et de là u; après quoi on aura/par la résolution de l'équation ci-dessus du second degré, et de là g et h par des équations linéaires. Ainsi l'on connaîtra la valeur de tous les coefficients D,Q, R, S, T. Or l'équation en y, étant réduite à celle-ci

par l'évanouissement des termes intermédiaires, donnera les quatre valeurs dey

±'f—D et ±(^DV— F,

lesquelles, étant substituées successivement dans l'expression de x ci-

dessus, donneront les quatre racines de la proposée. Au reste, comme ce calcul conduit à des formules assez compliquées, nous nous contentons de l'indiquer, et nous allons plutôt chercher des moyens de le simplifier.