ÇO-O

en sorte que les quantités 6°, 0', 5",... répondent aux racines i, a, /3,... de l'équationy-— i = o.

Or, si l'on élève successivement le polynôme

\ -f- a£'+ a2g"+ a3£'"+. . . ctf-'^-')

aux puissances seconde, troisième, etc., et qu'on dénote par |2, %%,

£4 les termes de ces puissances qui ne seront point affectés de <z,

après avoir substitué partout 1 à la place de x^, a à la place de c^' et ainsi de suite; il est facile de voir, par les propriétés des quantités 1, a, j3, y,... (67), que les sommes des puissances premières, secondes, troisièmes, etc., des quantités ô°, 6', 0",... se réduiront à pi;> p.|2, pj;3

Or

0°— 1 + l'+ l"-h 1'"+-. . .-h- £fr-u= [x'-+- x"-i-x"'+. . .-hx(f-'>Y = (— mf;

donc, si l'on retranche respectivement des quantités p.£, p.£2, p.£3>... les puissances première, seconde, troisième, etc., de (— m)^, les restes

f*£ — .(— mf, fx£2— (— m)^, /xg,— (— mf-, . . .

seront les sommes des p.— 1 racines 6', 6", 6'",... de leurs carrés, de leurs cubes, etc., de sorte qu'on aura, par les formules connues,

T = fi£ — (— m)*,

u= T[rt-(-m)*] ^,-(-my-^ 2 2

x= U[fxg-(-OT)^] T(pg,-(-TO)*] ^.-(-w)...

73. Maintenant, si l'on fait dans les expressions des quantités T, U, X, . . . toutes les permutations possibles entre les racines x', x", x'", . . . ,

on ne trouvera pour chacune de ces quantités que 1.2. 3... . (p — 2) valeurs différentes, lesquelles viendront uniquement des permutations entre les p. — 2 racines a;'", oclv,...; ainsi l'on aura autant d'équations en 5, telles que

0i-i je*-* -+- U 6»~3 — . . . = o,

lesquelles étant multipliées ensemble donneront une équation en ô du degré 1.2. 3... (p. — ij, et dont tous les coefficients seront déterminables par des fonctions rationnelles des coefficients m, n, p, . . . de l'équation proposée.

Cette équation en 0 étant ainsi trouvée, si on la divise par une équation du degré p — x telle que la précédente, on aura p. — 1 équations de condition entre les quantités T, U, X,... par lesquelles on pourra déterminer, par exemple, les valeurs de U, X,... en T, et l'on parviendra ensuite à une équation finale en T qui ne pourra monter qu'au degré 1 . 2 . 3 . . . ( p. — 2 ) .

En effet, puisque la quantité Tn'est susceptible que de 1.2. 3 — (p.— 2) valeurs différentes, si l'on appelle ces valeurs T', T", T'",..., T(v), en supposant, pour abréger,

on aura une équation en T, telle que

T" — m 'JV' + pT"2 - o-T'-3 -f- . . . = o,

dont les racines seront T', T", T'",..., en sorte qu'on pourra, si l'on veut, déterminer à priori les valeurs des coefficients zs, p, a,. . . d'après celles des racines T', T", —

De cette manière on aura donc l'équation en T directement et sans recourir à l'équation en S du degré v (p. — 1) ; et l'on pourra trouver aussi, indépendamment de cette dernière équation, les valeurs des autres coefficients U, X,.. . en T, comme nous le démontrerons plus bas dans la Section quatrième.

Concluons de tout ce qui précède que la méthode de MM. Euler et Bezout conduit nécessairement à une réduite du degré 1 . 2 . 3 . . . (p. — 1),

laquelle, quand l'exposant u. de la proposée est un nombre premier, doit être décomposante en i .2. 3. . . {\j. — 2) facteurs du (p. — i)ième degré chacun.

Ce résultat s'accorde, comme on voit, avec celui que l'on aurait par la méthode de M. Tschirnaus; ainsi l'on y pourra appliquer des remarques semblables à celles que nous avons faites dans le n° 58.

74. Pour éclaircir la théorie précédente par un exemple, prenons l'équation du cinquième degré

xi -r- mx" -h nx3 ■+- pxl -+■ qx -+- r = o,

dont les racines soient désignées par x', x", x'", xlv, xv. On supposera donc

x = a -r- by ■+- cy- 4- dyz--r~ eyi,

et l'on regardera l'équation proposée comme le résultat de celle-ci et de l'équation à deux termes

ou bien, en faisant, comme dans le n° 68, V= — 1,

MM. Euler et Bezout ont donné dans leurs Mémoires sur ce sujet l'équation finale, qui 'doit résulter de l'élimination de y dans le cas de m = o et de a = o, et dont la comparaison avec la proposée fournit les quatre équations nécessaires pour la détermination des coefficients b, c, d, e; mais ces savants Auteurs n'ont point donné le résultat qui doit provenir de ces quatre équations par l'élimination de trois quelconques des quatre inconnues qu'elles renferment, et cela à cause du travail immense que cette élimination demande. La méthode précédente fournit les moyens de trouver ce résultat à priori, et nous allons en donner un essai.

On aura d'abord (67)